命题逻辑

概念定义

可以判断真假的语句(陈述、句子、断言)叫做命题。

一个命题是一个完整的陈述，要么是真的，要么是假的。

一个命题可能是：

• 所有天鹅都是白色的
• 如果一个数是偶数，那么它一定能被2整除
• 只有养成良好的生活习惯，才能拥有健康的身体
• 无糖饮料对健康无害

在命题逻辑中，一个语句（或命题）由一个符号（或字母）表示，命题逻辑是研究简单命题和复合命题之间关系的学科，其中逻辑连接词用于构建复合命题，而命题的真值则决定了整个复合命题的真假。

概念定义

简单命题是不能再分解为更简单命题的基本陈述。

特点:

1. 表达单一的思想或事实
2. 不包含逻辑连接词
3. 只有一个主语和一个谓语

例子:

1. 太阳是一颗恒星。
2. 北京是中国的首都。
3. 水的化学式是H2O。

概念定义

复合命题是由两个或多个简单命题通过逻辑连接词组合而成的命题。

1. 包含逻辑连接词
2. 表达一个复合的思想或事实
3. 可以分解为更简单的命题

例子:

1. 如果一个数是偶数，那么它一定能被2整除。
2. 马蒂穿绿色靴子，马蒂有一条狗。
3. 如果天气好，我们就去公园。

复合命题的形式化称为命题公式。

Output

在命题逻辑中，命题按惯例用大写字母表示，通常是黑体字。例如，右面的命题可以用字母A表示：

与三段论逻辑不同，在命题逻辑中，这个语句是整体的，通常用一个符号来表示，我们只关心它是真还是假，而不是语句中的各个具体的意思。

Output

连接词是表达命题之间关系的逻辑符号。有五个基本连接词：

1. 否定连接词

2. 与逻辑连接词

3. 或逻辑连接词

4. 条件连接词

5. 双条件连接词

假设我们想说：“如果下雨，小明就不会走路上学了”。 我们首先用命题字母表示这两个命题：

• A：下雨
• B：小明不会走路去上学

如何用条件连接词来表述我们的陈述？ A$\to$B 更多: 逻辑连接词

真值表是直观显示命题真值的一种方法。真值用 “1 “表示，假值用 “0 “表示。

Output

基本真值表

$P$	$\neg P$
T	F
F	T

应用

否定：“今天不是周一”

• 如果今天是周一(T)，则命题为假(F)
• 如果今天不是周一(F)，则命题为真(T)

Output

合取 (且)

$P$	$Q$	$P\wedge Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

应用

“他既聪明又勤奋”

• 只有当两个条件都满足时(T,T)才为真
• 任何一个条件不满足都为假

Output

析取 (或)

$P$	$Q$	$P\vee Q$
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

应用

“要么下雨要么下雪”

• 只要有一个为真就为真
• 只有都不发生时才为假

Output

蕴含 (如果…那么…)

$P$	$Q$	$P\to Q$
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

应用

“如果下雨，那么带伞”

• 下雨且带伞(T,T)为真
• 下雨不带伞(T,F)为假
• 不下雨，无论带不带伞都为真(F,T/F)