三角函数是研究角度与边长关系的数学工具，它从直角三角形的边长比值发展成为描述周期性变化的重要函数。

基本定义 $\theta$：

1. 正弦(sine)：$\sin \theta =\frac{对边}{斜边}$
2. 余弦(cosine)：$\cos \theta =\frac{邻边}{斜边}$
3. 正切(tangent)：$\tan \theta =\frac{对边}{邻边}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

其倒数分别为：

• 余割(cosecant)：$\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$
• 正割(secant)：$\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$
• 余切(cotangent)：$\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }$

基本性质

1. 周期性：

• $\sin (x+2\pi )=\sin x$

• $\cos (x+2\pi )=\cos x$

• $\tan (x+\pi )=\tan x$

2. 奇偶性：

• $\sin (-x)=-\sin x$ (奇函数)
• $\cos (-x)=\cos x$ (偶函数)

重要公式

1. 毕达哥拉斯恒等式：

• ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

• $1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$

• $1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta$

2. 和差公式：

• $\sin (A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$
• $\cos (A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B$

三角定律

1. 正弦定律：

• $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

2. 余弦定律：

• $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
• $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$
• $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

双曲函数

1. $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
2. $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
3. $\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$

满足类似的恒等式：

• ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$