三角函数同余式是基于互补角的基本三角函数（正弦和余弦）之间的关系。它们表明正弦和余弦的图形完全相同，只是平移了一个常数 $\frac{\pi }{2}$。

基本同余关系

1. 基于$\frac{\pi }{2}$的互补关系：

原函数	同余函数
$\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )$	$\cos \theta$
$\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )$	$\sin \theta$
$\tan (\frac{\pi }{2}-\theta )$	$\cot \theta$

几何解释

1. 对称性原理：
   • 点$P(x,y)$关于y=x对称得到$P^{\prime }(y,x)$
   • 角度关系：$\theta$ 和 $\frac{\pi }{2}-\theta$

扩展关系

1. 基于奇偶性： $\cos \theta =\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )=-\sin (\theta -\frac{\pi }{2})$

   $\sin \theta =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=-\cos (\theta +\frac{\pi }{2})$

2. 倒数关系：

   • $\csc (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sec \theta$
   • $\sec (\frac{\pi }{2}-\theta )=\csc \theta$
   • $\cot (\frac{\pi }{2}-\theta )=\tan \theta$

应用技巧

1. 求和问题：
   • 利用互补关系转化
   • 配对简化计算
2. 方程求解：
   • 利用同余关系转化
   • 利用三角恒等式
   • 注意定义域限制