函数的周期是它在保持相同函数值的情况下自变量可以移动的最小量。更正式地说，它是最小的𝑝，对于所有𝑛，使得𝑓(𝑛+𝑝)=𝑓(𝑛)。直观地说，周期是函数“重复”自身的度量。

三角周期恒等式描述了三角函数在平移特定周期后保持不变的性质，这种周期性使得我们可以将任意角度的三角函数值简化到基本区间内计算。

基本周期

• $\sin (x+2\pi )=\sin (x)$
• $\cos (x+2\pi )=\cos (x)$
• $\tan (x+\pi )=\tan (x)$
• $\cot (x+\pi )=\cot (x)$
• $\sec (x+2\pi )=\sec (x)$
• $\csc (x+2\pi )=\csc (x)$

半周期关系

• $\sin (x+\pi )=-\sin (x)$
• $\cos (x+\pi )=-\cos (x)$
• $\sec (x+\pi )=-\sec (x)$
• $\csc (x+\pi )=-\csc (x)$

通用形式

• $\sin (x+2k\pi )=\sin (x)$
• $\cos (x+2k\pi )=\cos (x)$
• $\tan (x+k\pi )=\tan (x)$
• $\cot (x+k\pi )=\cot (x)$

应用技巧

1. 化简角度：将大角度通过周期性质化简到基本区间
2. 符号判断：利用半周期关系快速判断函数值正负
3. 求解方程：利用周期性质求解三角方程的通解
4. 图像分析：理解函数图像的重复性质

注意事项

• 不同三角函数周期不同
• 复合函数的周期需要单独计算
• 半周期关系只适用于正弦、余弦及其倒数函数
• 在求解时注意检查定义域