正弦和余弦函数可以通过单位圆的旋转来理解其图像特征，通过研究其周期性、对称性和变换关系来掌握其性质。

基本定义与单位圆关系

• 单位圆上点 $(x,y)$ 与角度 $\theta$ 的关系:
  • $x=\cos \theta$
  • $y=\sin \theta$

基本图像特征

• 正弦函数:
  • 周期: $2\pi$
  • 值域: $[-1,1]$
  • 奇函数，关于原点对称
• 余弦函数:
  • 周期: $2\pi$
  • 值域: $[-1,1]$
  • 偶函数，关于y轴对称

图像变换规律 $y=a\sin (bx-c)+d$ 或 $y=a\cos (bx-c)+d$ 中:

• $|a|$ : 振幅(纵向拉伸)
• $\frac{2\pi }{|b|}$ : 周期(横向压缩)
• $\frac{c}{b}$ : 水平平移
• $d$ : 垂直平移

相互关系

• 位移关系: $\sin (x)=\cos (x-\frac{\pi }{2})$
• 互补关系: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
• 奇偶性:
  • $\sin (-x)=-\sin (x)$
  • $\cos (-x)=\cos (x)$

常见误区

1. 不要混淆周期与振幅
2. 注意相位差的计算
3. 变换后的函数周期需要重新计算
4. 复合函数的周期可能会改变

例如: $y=\sin (2x)$ 的周期是 $\pi$，而不是 $2\pi$