三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$

考虑三角形ABC，用向量表示：

• $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$，长度为$|\vec{b}|=a$
• $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$，长度为$|\vec{c}|=b$
• 角C对应向量之间的角$\angle BAC$

三角形面积可以直接用叉积计算： $S=\frac{1}{2}|\vec{b}\times \vec{c}|$

根据向量叉积的性质： $|\vec{b}\times \vec{c}|=|\vec{b}||\vec{c}|\sin \angle BAC=ab\sin \angle BAC$

代入面积公式： $S=\frac{1}{2}|\vec{b}\times \vec{c}|=\frac{1}{2}ab\sin \angle BAC=\frac{1}{2}ab\sin C$

这样就直接证明了三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$