反三角函数是三角函数的逆运算，它接受三角比值作为输入并返回对应的角度，通过限定定义域和值域来保证其为单值函数。

基本定义

• ${\sin }^{-1}(x)$ 或 $\arcsin (x)$: 正弦的反函数
• ${\cos }^{-1}(x)$ 或 $\arccos (x)$: 余弦的反函数
• ${\tan }^{-1}(x)$ 或 $\arctan (x)$: 正切的反函数

$$\begin{array}{rl}{\sin }^{-1}\left(\frac{b}{c}\right)& =\theta \\ {\cos }^{-1}\left(\frac{a}{c}\right)& =\theta \\ {\tan }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)& =\theta .\end{array}$$

定义域与值域

函数	定义域	值域
${\sin }^{-1}(x)$	[-1, 1]	$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$
${\cos }^{-1}(x)$	[-1, 1]	$[0,\pi ]$
${\tan }^{-1}(x)$	$(-\infty ,\infty )$	$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

常用值

x	$\frac{\sqrt{0}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{4}}{2}$
${\sin }^{-1}(x)$	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$
${\cos }^{-1}(x)$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{6}$	0

复合关系

• $\sin ({\sin }^{-1}(x))=x$，其中 $x\in [-1,1]$
• $\cos ({\cos }^{-1}(x))=x$，其中 $x\in [-1,1]$
• $\tan ({\tan }^{-1}(x))=x$，其中 $x\in \mathbb{R}$
• ${\sin }^{-1}(\sin (x))=x$，其中 $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$
• ${\cos }^{-1}(\cos (x))=x$，其中 $x\in [0,\pi ]$
• ${\tan }^{-1}(\tan (x))=x$，其中 $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

常见误区

1. ${\sin }^{-1}(x)$ 不等于 $\frac{1}{\sin (x)}$
2. 反三角函数的周期性与三角函数不同
3. 复合函数时需注意定义域限制
4. 解题时需考虑象限问题
5. 反三角函数的导数与原三角函数不同