三角函数的比值关系

三角函数的比值关系定义了正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)四个重要的三角函数，它们是由正弦(sin)和余弦(cos)的比值及其倒数得到的。

基本定义 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$ $\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$ $\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$

几何意义

• tan θ = 对边/邻边
• cot θ = 邻边/对边
• sec θ = 斜边/邻边
• csc θ = 斜边/对边

基本关系

1. 互为倒数的关系： $\tan \theta \cdot \cot \theta =1$ $\sec \theta \cdot \cos \theta =1$ $\csc \theta \cdot \sin \theta =1$

2. 平方关系： ${\tan }^2\theta +1={\sec }^2\theta$ ${\cot }^2\theta +1={\csc }^2\theta$

应用示例

已知：$\sin \theta =\frac{1}{2},\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 求：$\tan \theta$

解：$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

常见错误

• 混淆比值定义
• 忽略符号问题
• 忘记倒数关系
• 平方关系使用错误

解题技巧

1. 先确定已知函数
2. 利用基本比值关系
3. 注意角度象限
4. 验证结果合理性

掌握要点

• 理解几何意义
• 熟记基本关系
• 会灵活转换
• 注意定义域

知识结构

• 基本比值
  • 正切
  • 余切
  • 正割
  • 余割
• 函数关系
  • 倒数关系
  • 平方关系
• 应用
  • 计算
  • 证明
  • 转换

思考题

1. 为什么需要这些比值函数？
2. 各函数的图像特征是什么？
3. 如何理解周期性？
4. 实际应用中如何选择合适函数？