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三角函数

Apr 01, 20256 min read

Output

弧度和角度

角的度量 度数 弧度

三角函数

单位圆 基础三角函数 对称性 周期性 诱导公式

三角比

正弦定理 余弦定理

三角恒等式

加法公式 二倍角公式 三角恒等式 R方法

一级链接

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目前开放三角函数、集合、向量、不等式几个主题。

角的度量

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角的度量

角度其实是个动词，应理解为角的度量。角的度量有两种主要表示方法:度数和弧度。

度数

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度数

以度数为单位进行角的测量，将一次完整的旋转视为360度，然后再进行切分。

弧度

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弧度

弧度是一种角的度量单位，用弧长与半径的比值表示的角度，称为弧度。

单位圆

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单位圆

单位圆是半径为1的圆，圆心在坐标原点。单位圆圆心角的弧度恰好等于其对应弧长。

基础三角函数

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基础三角函数

三角函数是研究角度与边长比值关系的基本工具，从直角三角形扩展到单位圆。

三角函数对称性

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三角函数对称性

三角函数的对称性研究函数关于y轴、原点的对称特征，以及周期性质中的角度对称关系。

三角函数周期性

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三角函数周期性

>[!question] 概念定义 > >三角函数周期性是指三角函数的函数值按照一定

诱导公式

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诱导公式

用单位圆对称性记忆理解诱导公式。

正弦定理

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正弦定理

正弦定理确定了一般三角形的角和边之间的关系。

余弦定理

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余弦定理

余弦定理将三角形的所有 3 条边与三角形的角联系起来，它对于解决三角形中的缺失信息最有用。

加法公式

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加法公式

描述两个角的和或差的三角函数与各自三角函数之间关系的基本公式.

二倍角公式

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二倍角公式

>[!info] 二倍角公式 > > - $\sin 2A = 2\sin A\

三角函数恒等式

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三角函数恒等式

>[!info] 概念定义 > >三角函数恒等式是对任意角度都恒成立的三角函数等式关

辅助角公式

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R方法也称为辅助角公式，是将三角函数线性组合 acos⁡θ+bsin⁡θa\cos\theta + b\sin\theta 转化为单一三角函数 Rcos⁡(θ−α)R\cos(\theta-\alpha) 或 Rsin⁡(θ+β)R\sin(\theta+\beta) 的方法

间接关联

角的度量

角的度量

角度其实是个动词，应理解为角的度量。角的度量有两种主要表示方法:度数和弧度。

向量点积与角度

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向量点积与角度

点积将几何中的角度概念转化为代数运算(u⃗⋅v⃗=cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = \cos\theta)，使得度量方向关系可以通过纯代数方法处理。

弧度

弧度

弧度是一种角的度量单位，用弧长与半径的比值表示的角度，称为弧度。

弧度的几何直觉

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弧度的几何直觉

为了建立用弧度表示角的直觉认知：

弧长和弦长

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弧长和弦长

🤔思考弧长和弦长与角度的函数关系？

基础三角函数

基础三角函数

三角函数是研究角度与边长比值关系的基本工具，从直角三角形扩展到单位圆。

15-75 度角的三角函数

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15-75 度角的三角函数

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三个 1 关系

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三个 1 关系

三角函数的三个“1”关系。

正弦定理

正弦定理

正弦定理确定了一般三角形的角和边之间的关系。

投影概念🔎

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投影概念🔎

在三角函数中，投影指的是一个线段或向量在特定方向上的映射长度。正弦是竖直投影，余弦是水平投影。

sin2θ=2sinθcosθsin2\theta=2sin\theta cos\theta

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<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mn>2</mn><mi>θ</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>θ</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">sin2\theta=2sin\theta cos\theta</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mord">2</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">θ</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6944em;"></span><span class="mord">2</span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">θ</span><span class="mord mathnormal">cos</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.02778em;">θ</span></span></span></span>

>[!info] 两种证明方法 > >#### 面积方法 > >如图所示： >构造斜

加法公式的一个推导

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加法公式的一个推导

如何从正弦面积公式推导出加法公式？

sin(α+β)sin(\alpha+\beta)的证明

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<span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>α</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">sin(\alpha+\beta)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal">s</span><span class="mord mathnormal">in</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.0037em;">α</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">+</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathnormal" style="margin-right:0.05278em;">β</span><span class="mclose">)</span></span></span></span>的证明

如何从正弦面积公式推导出加法公式？

正弦与平行四边形

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正弦与平行四边形

用单位平行四边形的面积定义正弦。

正弦函数的第二个定义

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正弦函数的第二个定义

>[!info] 前置知识点 > >- 弧长和弦长 >- 正弦定理 >[!outpu

余弦定理

余弦定理

余弦定理将三角形的所有 3 条边与三角形的角联系起来，它对于解决三角形中的缺失信息最有用。

向量点积证明余弦定理

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向量点积证明余弦定理

向量方法证明余弦定理

加法公式

加法公式

描述两个角的和或差的三角函数与各自三角函数之间关系的基本公式.

tan(⍺+β)

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tan(⍺+β)

为什么 tan(⍺+β)是更优雅的加法公式？

加法公式与几何变换的连接

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加法公式与几何变换的连接

>[!output] > >问题：平面上点 $P(

辅助角公式

R方法也称为辅助角公式，是将三角函数线性组合 acos⁡θ+bsin⁡θa\cos\theta + b\sin\theta 转化为单一三角函数 Rcos⁡(θ−α)R\cos(\theta-\alpha) 或 Rsin⁡(θ+β)R\sin(\theta+\beta) 的方法

数形转换方法

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逆向如何解释正弦函数sinαsin\alpha？

用向量的投影解释 R 方法

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用向量的投影解释 R 方法

用向量点积理解三角函数 R 方法的两种形式。

辅助角公式的本质理解

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辅助角公式的函数思想