三角函数对称性

三角函数的对称性研究函数关于y轴、原点的对称特征，以及周期性质中的角度对称关系。

基本对称性质

函数	函数性质	对称性质	数学表达式
正弦	奇函数	原点对称	$\sin (-\theta )=-\sin (\theta )$
余弦	偶函数	y轴对称	$\cos (-\theta )=\cos (\theta )$
正切	奇函数	原点对称	$\tan (-\theta )=-\tan (\theta )$

关于y轴的对称性

• $cos(-x)=cos(x)$ # 偶函数

关于原点的对称性

• $sin(x+\pi )=-sin(x)$
• $tan(x+\pi )=tan(x)$ # 周期性

1. 关于90°(π/2)对称

• $sin(90°+\alpha )=sin(90°-\alpha )=cos\alpha$
• $cos(90°+\alpha )=-cos(90°-\alpha )=-sin\alpha$
• $tan(90°+\alpha )=-cot(\alpha )$

2. 关于180°(π)对称

• $sin(180°+\alpha )=-sin(\alpha )$
• $cos(180°+\alpha )=-cos(\alpha )$
• $tan(180°+\alpha )=tan(\alpha )$

3. 关于270°(3π/2)对称

• $sin(270°+\alpha )=sin(270°-\alpha )=-cos(\alpha )$
• $cos(270°+\alpha )=-cos(270°-\alpha )=sin(\alpha )$
• $tan(270°+\alpha )=-cot(\alpha )$

自行补充$180°-\alpha$,$360°-\alpha$的三角函数值。

1. 两个偶函数的和是偶函数
2. 两个奇函数的积是偶函数
3. 奇函数与偶函数的积是奇函数
4. 判断步骤：
   • 代入$-x$
   • 利用基本对称性质
   • 比较$f(-x)$和$f(x)$或$-f(x)$