辅助角公式

形式定义

辅助角公式应看做R方法，是将三角函数线性组合 $a\cos \theta +b\sin \theta$ 转化为单一三角函数 $R\cos (\theta -\alpha )$ 或 $R\sin (\theta +\beta )$ 的方法，R 指的是直角三角形的斜边。其中：

• $R=\sqrt{a^2+b^2}$（振幅）
• $\alpha =\arctan (b/a)$（相位角，余弦形式）
• $\beta =\arctan (a/b)$（相位角，正弦形式）

直观解释

从几何角度看，R方法体现了三角函数的旋转变换。在直角三角形中，R表示斜边长度，α或β表示旋转角度，使得复杂的三角函数组合可以转化为更简单的形式。

符号表示

1. 余弦形式：$a\cos \theta +b\sin \theta =R\cos (\theta -\alpha )$
2. 正弦形式：$a\cos \theta +b\sin \theta =R\sin (\theta +\beta )$

基本性质

1. 等价性：两种形式（正弦和余弦）在数学上完全等价，选择哪种形式取决于具体问题
2. 振幅不变性：转化前后的振幅R保持不变，为系数平方和的平方根
3. 相位关系：余弦形式和正弦形式的相位角满足 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$
4. 周期性：转化前后的函数周期保持不变

重要定理

1. 线性组合定理：任何形如 $a\cos \theta +b\sin \theta$ 的表达式都可以用 $R\cos (\theta -\alpha )$ 或 $R\sin (\theta +\beta )$ 表示
2. 振幅定理：线性组合 $a\cos \theta +b\sin \theta$ 的最大值为 $\sqrt{a^2+b^2}$，最小值为 $-\sqrt{a^2+b^2}$
3. 相位定理：当 $\theta =\alpha$ 时，$a\cos \theta +b\sin \theta$ 达到最大值 $R$

关键公式

1. 余弦形式：$a\cos \theta +b\sin \theta =R\cos (\theta -\alpha )$，其中：

• $R=\sqrt{a^2+b^2}$
• $\alpha =\arctan (b/a)$
• $\cos \alpha =\frac{a}{R}$，$\sin \alpha =\frac{b}{R}$

1. 正弦形式：$a\cos \theta +b\sin \theta =R\sin (\theta +\beta )$，其中：

• $R=\sqrt{a^2+b^2}$
• $\beta =\arctan (a/b)$
• $\sin \beta =\frac{a}{R}$，$\cos \beta =\frac{b}{R}$

特殊情况

1. 当 $a=0$ 时：$b\sin \theta =b\sin \theta$（无需转化）
2. 当 $b=0$ 时：$a\cos \theta =a\cos \theta$（无需转化）
3. 当 $a<0,b>0$ 或 $a<0,b<0$ 时，需要注意 $\arctan$ 的象限问题，应使用 $\alpha =\arctan (b/a)+\pi$
4. 当 $a=b$ 时：$a(\cos \theta +\sin \theta )=\sqrt{2}a\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$
5. 当 $a=-b$ 时：$a(\cos \theta -\sin \theta )=\sqrt{2}a\cos (\theta +\frac{\pi }{4})$

直接推论

1. 最值确定：函数 $a\cos \theta +b\sin \theta$ 的最大值为 $R=\sqrt{a^2+b^2}$，最小值为 $-R$
2. 相位确定：函数取最大值时的角度为 $\theta =\alpha$（余弦形式）或 $\theta =\frac{\pi }{2}-\beta$（正弦形式）
3. 零点确定：函数的零点满足 $\theta =\alpha \pm \frac{\pi }{2}+k\pi$（余弦形式）

跨领域联系

1. 与复数的联系：$a\cos \theta +b\sin \theta$ 可以看作复数 $R{e}^{i(\theta -\alpha )}$ 的实部
2. 与向量的联系：可以理解为平面上两个正交向量的合成
3. 与参数方程的联系：参数方程 $x=a\cos \theta ,y=b\sin \theta$ 表示椭圆，R方法提供了分析这类曲线的工具

例题1：将 $3\cos \theta +4\sin \theta$ 化为 $R\cos (\theta -\alpha )$ 的形式。

解析：

1. 计算 $R=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
2. 计算 $\alpha =\arctan (\frac{4}{3})\approx 53.1°$
3. 验证：$\cos \alpha =\frac{3}{5}$，$\sin \alpha =\frac{4}{5}$
4. 因此 $3\cos \theta +4\sin \theta =5\cos (\theta -53.1°)$

例题2：求函数 $f(\theta )=2\cos \theta -2\sqrt{3}\sin \theta$ 的最大值、最小值及其对应的 $\theta$ 值。

解析：

1. 使用R方法转化：$f(\theta )=2\cos \theta -2\sqrt{3}\sin \theta$
2. 计算 $R=\sqrt{2^2+(-2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$
3. 计算 $\alpha =\arctan (\frac{-2\sqrt{3}}{2})=\arctan (-\sqrt{3})=-\frac{\pi }{3}=-60°$
4. 所以 $f(\theta )=4\cos (\theta -(-60°))=4\cos (\theta +60°)$
5. 余弦函数的最大值为1，最小值为-1
6. 因此 $f(\theta )$ 的最大值为4，当 $\theta +60°=0$ 即 $\theta =-60°$ 时取得
7. $f(\theta )$ 的最小值为-4，当 $\theta +60°=180°$ 即 $\theta =120°$ 时取得

例题3：证明：对于任意角 $\alpha$ 和 $\beta$，有 $\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha -\beta )$。

解析：

1. 设 $a=\cos \beta$，$b=\sin \beta$
2. 则需要证明的式子左边为 $\cos \alpha \cdot a+\sin \alpha \cdot b$
3. 计算 $R=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta }=1$
4. 计算 $\gamma =\arctan (\frac{b}{a})=\arctan (\frac{\sin \beta }{\cos \beta })=\arctan (\tan \beta )=\beta$
5. 根据R方法，$\cos \alpha \cdot a+\sin \alpha \cdot b=R\cos (\alpha -\gamma )=\cos (\alpha -\beta )$
6. 证毕

错误分析：将 $2\cos \theta +3\sin \theta$ 转化为 $R\sin (\theta +\alpha )$ 时，直接用 $\alpha =\arctan (\frac{2}{3})$ 计算。

纠正：

1. 正弦形式应使用 $\beta =\arctan (\frac{a}{b})=\arctan (\frac{2}{3})$
2. 而非 $\alpha =\arctan (\frac{b}{a})$（这是余弦形式使用的）
3. 正确结果应为 $R\sin (\theta +\beta )=\sqrt{13}\sin (\theta +\arctan (\frac{2}{3}))$
4. 或者使用余弦形式：$\sqrt{13}\cos (\theta -\arctan (\frac{3}{2}))$