余弦定理

余弦定理

在任意三角形 ABC 中，对于任意一边 a 和其对角 A，有： a² = b² + c² - 2bc cos A 其中 b 和 c 是三角形的另外两边。 同理： b² = a² + c² - 2ac cos B c² = a² + b² - 2ab cos C

余弦定理的特殊情况

当 A = 90°时，cos A = 0，余弦定理简化为： a² = b² + c² 这正是勾股定理，说明余弦定理是勾股定理的推广，或者说勾股定理是余弦定理的特例。

余弦定理及其推论体系

一级定理（基本形式）

余弦定理：在任意三角形ABC中

• $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
• $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$
• $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

二级推论

1. 角的余弦值表达
   • $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
   • $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
   • $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
2. 中线长公式
   • $m_a^2=\frac{1}{4}(2b^2+2c^2-a^2)$
   • $m_b^2=\frac{1}{4}(2a^2+2c^2-b^2)$
   • $m_c^2=\frac{1}{4}(2a^2+2b^2-c^2)$

三级推论

1. 三角形判定
   • 当$a^2<b^2+c^2-2bc\cos A$时，为锐角
   • 当$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$时，为直角
   • 当$a^2>b^2+c^2-2bc\cos A$时，为钝角
2. 面积推论
   • $S=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}$（海伦公式）
   • $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$

深层联系

1. 与勾股定理的联系
   • 当角为90°时，$\cos 90°=0$，退化为勾股定理
   • 体现了特殊到一般的数学思想
2. 与向量的联系
   • 可以用向量点积证明余弦定理
   • 体现了几何与代数的统一
3. 与其他定理的联系
   • 与正弦定理互补
   • 可导出海伦公式
   • 与中线定理相关