三角恒等式证明

三角恒等式证明是通过逻辑推理和数学变换，证明两个三角表达式在所有合法定义域内恒等的过程。

证明基本方法

基本策略：
- 从复杂侧开始
- 化为基本函数
- 利用基本恒等式
- 注意等号传递性
常用恒等式： $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ $tan^{2} θ + 1 = sec^{2} θ$ $cot^{2} θ + 1 = csc^{2} θ$

证明步骤

proof_steps:

分析表达式:
- 识别函数类型
- 寻找关键模式
选择方法:
- 直接证明
- 间接证明
- 分类讨论
执行证明:
- 逐步推导
- 保持等价
- 合理化简

典型例题 $(1 - sin x) (1 + csc x) = cos x cot x$

证明：

解法：

(1 - sin x) (1 + csc x) = 1 + csc x - sin x - sin x csc x = 1 + \frac{1}{sin x} - sin x - 1 = \frac{1}{sin x} - sin x = \frac{1 - sin ^{2} x}{sin x} = \frac{cos ^{2} x}{sin x} = cos x cot x

常见错误

推理不严谨
遗漏条件
等号传递错误
定义域忽略

证明技巧

techniques:

寻找关键模式
合理变形
利用已知恒等式
注意等价条件

关键要点

证明的完整性
推理的严谨性
变换的合理性
结论的普适性

掌握标准

理解证明思路
熟练运用方法
能独立完成证明
会灵活选择策略

思考问题

如何选择最优证明路径？
证明的充分性和必要性？
如何处理特殊情况？
证明的一般化方法？

知识结构

证明方法
- 直接证明
- 间接证明
- 反证法
基础知识
- 基本恒等式
- 变换规则
- 逻辑推理
应用技巧
- 化简方法
- 等价变换
- 特殊处理

三角恒等式证明例题集

基础证明

题型: 直接证明
难度: ★★★☆☆
考点: 
  - 基本恒等式
  - 代数变换

证明： $(1 - sin x) (1 + csc x) = cos x cot x$

解法：

(1 - sin x) (1 + csc x) = 1 + \frac{1}{sin x} - sin x - 1 = \frac{1}{sin x} - sin x = \frac{1 - sin ^{2} x}{sin x} = \frac{cos ^{2} x}{sin x} = cos x cot x

分式证明

题型: 分式化简
难度: ★★★★☆
考点:
  - 分式运算
  - 恒等变换

证明： $\frac{c o s ^{3} x + s i n ^{3} x}{c o s x + s i n x} + \frac{c o s ^{3} x - s i n ^{3} x}{c o s x - s i n x} = 2$

解法：

= \frac{( cos x + sin x ) ( cos ^{2} x + sin ^{2} x - sin x cos x )}{cos x + sin x} + \frac{( cos x - sin x ) ( cos ^{2} x + sin ^{2} x + sin x cos x )}{cos x - sin x} = 2 (sin^{2} x + cos^{2} x) + sin x cos x - sin x cos x = 2

复合函数证明

题型: 复合变换
难度: ★★★☆☆
考点:
  - 复合函数
  - 基本关系

证明： $sin x cos x tan x = 1 - cos^{2} x$

解法：

sin x cos x tan x = sin x cos x \frac{sin x}{cos x} = sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

证明策略

基本策略

steps:
  - 观察表达式特点
  - 选择合适方向
  - 逐步化简
  - 验证结果

常用方法

methods:
  - 直接代入
  - 等式变形
  - 同类合并
  - 因式分解

常见错误

化简方向错误
遗漏中间步骤
等号连接不当
定义域未考虑

解题技巧

techniques:
  - 从复杂侧开始
  - 注意对称性
  - 利用基本恒等式
  - 保持等价变换

思考题

如何选择最优化简路径？
不同方法的优劣比较？
如何验证证明的完备性？

解题思路

观察分析
- 表达式特点
- 可能方向
方法选择
- 直接证明
- 间接证明
执行证明
- 逐步推导
- 严格论证
结果验证
- 完整性
- 正确性

三角恒等式进阶例题

商式证明

题型: 商式变换
难度: ★★★☆☆

证明： $\frac{c o t θ}{c s c θ} = cos θ$

解法：

\frac{cot θ}{csc θ} = \frac{cos θ / sin θ}{1/ sin θ} = cos θ

平方和差

题型: 平方关系
难度: ★★★★☆

证明： $sin^{4} x + cos^{4} x = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x$

解法：

sin^{4} x + cos^{4} x = (sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - \frac{1}{2} (2 sin x cos x)^{2} = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x

复合角证明

题型: 复合角
难度: ★★★★☆

证明： $sin A + sin B = 2 sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A - B}{2})$

解法：

2 sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A - B}{2}) = 2 [\frac{sin A + sin B}{2}] = sin A + sin B

倍角证明

题型: 倍角公式
难度: ★★★★★

证明： $cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x$

解法：

cos 3 x = cos (2 x + x) = cos 2 x cos x - sin 2 x sin x = (2 cos^{2} x - 1) cos x - 2 sin^{2} x cos x = 2 cos^{3} x - cos x - 2 cos x (1 - cos^{2} x) = 4 cos^{3} x - 3 cos x

条件证明

题型: 条件应用
难度: ★★★★★

若 $tan θ + cot θ = 2$ ，证明： $sin θ cos θ = \frac{1}{2}$

解法：

tan θ + cot θ ∴ sin θ cos θ = \frac{sin θ}{cos θ} + \frac{cos θ}{sin θ} = \frac{sin ^{2} θ + cos ^{2} θ}{sin θ cos θ} = 2 = \frac{1}{2}

绝对值证明

题型: 绝对值
难度: ★★★★☆

证明： $∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣ \geq 1$

解法：

平方两边
利用基本恒等式
分类讨论不同象限

高级技巧

辅助角引入

$a sin x + b cos x = a^{2} + b^{2} sin (x + α)$ 其中 $cos α = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}$

万能替换 $tan \frac{x}{2} = t$ $sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ $cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$
三倍角公式

$sin 3 x = 3 sin x - 4 sin^{3} x$ $cos 3 x = 4 cos^{3} x - 3 cos x$

证明方法总结

直接法
- 代数变形
- 等式推导
间接法
- 反证法
- 待定系数
几何法
- 单位圆
- 三角形

深入思考

如何选择最优证明路径？
特殊角度值的处理？
复杂恒等式的简化策略？
几何意义的应用时机？