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提问相关问题
三角函数和差公式是描述三角函数复合角的基本公式，是解决三角函数问题的重要工具。
- 正弦和差公式：
\sin(a+b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b\\
\sin(a-b) &= \sin a \cos b - \cos a \sin b
\end{align}$$
2. 余弦和差公式：
$$\begin{align}
\cos(a+b) &= \cos a \cos b - \sin a \sin b\\
\cos(a-b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b
\end{align}$$
> [!note] 推导方法
1. 欧拉公式法：
$$e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$$
2. 几何证明法：
> [!example] 应用实例
计算：$$\cos 75°$$
解法：
$$\begin{align}
\cos 75° &= \cos(45° + 30°)\\
&= \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30°\\
&= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\\
&= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\end{align}$$
> [!tip] 使用技巧
1. 角度分解
- 化为基本角
- 寻找特殊角
2. 公式选择
- 根据目标选择
- 注意正负号
3. 计算简化
- 提取公因式
- 合并同类项
> [!warning] 常见错误
- 符号错误
- 角度拆分不当
- 基本角记忆错误
- 化简步骤遗漏
> [!important] 记忆方法
1. 正弦和：正余余正
2. 正弦差：正余负余正
3. 余弦和：余余负正正
4. 余弦差：余余正正正
> [!success] 掌握要点
- 理解推导过程
- 熟记基本公式
- 灵活运用变换
- 注意符号规律
> [!mindmap] 知识结构
- 基本公式
- 正弦和差
- 余弦和差
- 正切和差
- 推导方法
- 欧拉公式
- 几何证明
- 应用
- 角度计算
- 恒等式证明
- 方程求解
> [!question] 思考题
1. 为什么需要和差公式？
2. 如何选择最优计算路径？
3. 几何意义是什么？
4. 与其他公式的联系？
> [!example] 和差公式例题集
1. 基本角度计算
```yaml
题型: 直接计算
难度: ★★★☆☆
考点:
- 和差公式
- 特殊角
```
求：$$\cos 75°$$
解法：
$$\begin{align}
\cos 75° &= \cos(45° + 30°)\\
&= \cos 45° \cos 30° - \sin 45° \sin 30°\\
&= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\\
&= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\end{align}$$
> [!note] 差角计算
```yaml
题型: 差角应用
难度: ★★★☆☆
考点:
- 差角公式
- 基本角度值
```
求：$$\cos 15°$$
解法：
$$\begin{align}
\cos 15° &= \cos(45° - 30°)\\
&= \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30°\\
&= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\\
&= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{align}$$
> [!tip] 复合角计算
```yaml
题型: 复合计算
难度: ★★★★☆
考点:
- 和差公式
- 复合角度
```
求：$$\cos 105°$$
解法：
$$\begin{align}
\cos 105° &= \cos(60° + 45°)\\
&= \cos 60° \cos 45° - \sin 60° \sin 45°\\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\
&= \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}
\end{align}$$
> [!important] 乘积化简
```yaml
题型: 乘积转换
难度: ★★★★☆
```
化简：$$\cos 140° \cdot \cos 50° + \sin 140° \cdot \sin 50°$$
解法：
使用余弦和差公式的逆运算：
$$\begin{align}
&\cos 140° \cos 50° + \sin 140° \sin 50°\\
&= \cos(140° - 50°)\\
&= \cos 90°\\
&= 0
\end{align}$$
> [!warning] 常见错误
1. 角度符号错误
2. 基本角度值记忆错误
3. 公式选择不当
4. 计算步骤遗漏
> [!success] 解题技巧
```yaml
techniques:
- 转化为基本角
- 利用特殊角值
- 注意符号变化
- 选择合适公式
```
> [!note] 重要公式
1. 正弦和差公式：
$$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$$
2. 余弦和差公式：
$$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$$
3. 正切和差公式：
$$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$$
> [!question] 思考题
1. 如何选择最优计算路径？
2. 复杂角度如何分解？
3. 特殊角度值的记忆方法？
4. 和差公式的几何意义？
> [!mindmap] 知识结构
- 基本公式
- 正弦和差
- 余弦和差
- 正切和差
- 应用技巧
- 角度分解
- 特殊角处理
- 符号判断
- 计算方法
- 直接代入
- 分步计算
- 逆向思维