毕达哥拉斯三角恒等式

毕达哥拉斯三角恒等式是基于单位圆和直角三角形，建立三角函数之间基本关系的重要公式体系。

基本恒等式

1. 平方关系： ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

2. 商数关系： ${\tan }^2\theta +1={\sec }^2\theta$ ${\cot }^2\theta +1={\csc }^2\theta$

几何意义

1. 单位圆解释

• 点P(cos θ, sin θ)到原点距离为1

• 形成直角三角形满足勾股定理

2. 直角三角形解释

• 斜边为1的直角三角形
• 两直角边分别为sin θ和cos θ

推导关系

$$\begin{array}{rl}{\tan }^2\theta +1& =\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }+1\\ & =\frac{{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta }{{\cos }^2\theta }\\ & =\frac{1}{{\cos }^2\theta }\\ & ={\sec }^2\theta \end{array}$$

应用技巧

1. 化简表达式

• 转化为同类函数

• 利用基本恒等式

• 注意平方关系

2. 求值计算

• 已知一个函数值
• 利用恒等式关系
• 考虑象限位置

常见错误

1. 符号错误
2. 平方遗漏
3. 象限判断错误
4. 定义域忽略

典型例题

已知sin θ = 3/5，求cos θ 解法：

掌握标准

1. 理解几何意义
2. 熟记基本公式
3. 会灵活运用
4. 能解决实际问题

知识结构

• 基本关系
• 平方关系
• 商数关系
• 倒数关系
• 几何意义
• 单位圆
• 直角三角形
• 应用
• 化简
• 求值
• 证明

深入思考

1. 为什么这些关系成立？
2. 如何从几何角度理解？
3. 与其他恒等式的关系？
4. 实际应用中如何选择？