基本三角恒等式

基本三角恒等式是三角函数之间的基本关系式，是解决三角函数相关问题的重要工具。

基本恒等式

1. 毕达哥拉斯恒等式： ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ ${\tan }^2\theta +1={\sec }^2\theta$ ${\cot }^2\theta +1={\csc }^2\theta$

2. 倒数关系： $\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta }$ $\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta }$ $\cot \theta =\frac{1}{\tan \theta }$

对称性质

\cos(-\theta) &= \cos \theta \\ \sin(-\theta) &= -\sin \theta \\ \tan(-\theta) &= -\tan \theta \\ \cot(-\theta) &= -\cot \theta \\ \sec(-\theta) &= \sec \theta \\ \csc(-\theta) &= -\csc \theta \end{align}$$

周期性质

\sin \theta &= \sin(\theta + 2\pi) \\ \cos \theta &= \cos(\theta + 2\pi) \\ \tan \theta &= \tan(\theta + \pi) \\ \cot \theta &= \cot(\theta + \pi) \end{align}$$

余角关系

\sin \theta &= \cos(90° - \theta) \\ \cos \theta &= \sin(90° - \theta) \\ \tan \theta &= \cot(90° - \theta) \\ \cot \theta &= \tan(90° - \theta) \end{align}$$

和差公式 $\sin (A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$ $\cos (A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B$ $\tan (A\pm B)=\frac{\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\tan B}$

倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =2{\cos }^2\theta -1=1-2{\sin }^2\theta$ $\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$

半角公式

\sin \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} \\ \cos \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}} \\ \tan \frac{\theta}{2} &= \pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} \end{align}$$

降幂公式

\begin{align} \sin^2 \theta &=\frac{1}{2}(1-\cos 2\theta) \\ \cos^2 \theta &=\frac{1}{2}(1+\cos 2\theta). \end{align} $$

积化和差

\sin A \cos B &= \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] \\ \cos A \cos B &= \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] \\ \sin A \sin B &= \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] \end{align}$$

和差化积

\sin A + \sin B &= 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) \\ \sin A - \sin B &= 2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2}) \\ \cos A + \cos B &= 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) \\ \cos A - \cos B &= -2\sin(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2}) \end{align}$$

三倍角公式

\sin 3\theta &= 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta \\ \cos 3\theta &= 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta \end{align}$$

万能公式 $t=\tan \frac{\theta }{2}$，则：

\sin \theta &= \frac{2t}{1+t^2} \\ \cos \theta &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ \tan \theta &= \frac{2t}{1-t^2} \end{align}$$

应用技巧

1. 化简
   • 使用基本恒等式
   • 转化为同类函数
   • 利用倒数关系
2. 证明
   • 从基本恒等式出发
   • 利用和差公式
   • 考虑几何意义

常见错误

• 符号错误
• 角度混淆
• 恒等式选择不当
• 化简步骤遗漏

特殊角值

掌握标准

1. 熟记基本恒等式
2. 理解几何意义
3. 会灵活运用
4. 能解决实际问题

知识结构

• 基本关系
  • 毕达哥拉斯恒等式
  • 倒数关系
  • 商数关系
• 复合关系
  • 和差公式
  • 倍角公式
  • 半角公式
• 应用
  • 化简
  • 证明
  • 求值

深入思考

1. 为什么这些关系成立？
2. 如何从几何角度理解？
3. 如何选择最优化简路径？
4. 实际应用中如何选择合适公式？

练习题集

1. 基本恒等式应用 $\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\cos \theta$ 证明： $(\sqrt{2}-1)\cos \theta =\sin \theta$ $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)\cos \theta =(\sqrt{2}+1)\sin \theta$ $\cos \theta -\sin \theta =\sqrt{2}\sin \theta$

题型: 化简证明
难度: ★★☆☆☆
考点: 
  - 毕达哥拉斯恒等式
  - 基本运算法则

特殊角度值计算

题型: 值计算
难度: ★★★☆☆
考点: 
  - 特殊角记忆
  - 周期性质

已知：$\cos 35°=\alpha$ 求：$\sin 2015°$ 解题思路：

1. 利用周期性：2015° = 5 × 360° + 235°
2. 235° = 180° + 55°
3. 利用余弦和正弦的关系

复合函数求值

题型: 复杂计算
难度: ★★★★☆
考点:
  - 三角函数幂
  - 恒等式变换

求值： $\frac{{\cos }^{4}75^{\circ }+{\sin }^{4}75^{\circ }+3{\sin }^{2}75^{\circ }{\cos }^{2}75^{\circ }}{{\cos }^{6}75^{\circ }+{\sin }^{6}75^{\circ }+4{\sin }^{2}75^{\circ }{\cos }^{2}75^{\circ }}$

系数确定

题型: 参数确定
难度: ★★★★☆
考点:
  - 多项式展开
  - 系数比较

$\cos 5x=a{\cos }^{5}x+b{\cos }^{3}x+c\cos x$ 求常数c的值

复合关系

题型: 关系求解
难度: ★★★★★
考点:
  - 正切函数
  - 复合角公式

已知： $\frac{\sin x}{\sin y}=\frac{1}{2},\frac{\cos x}{\cos y}=\frac{3}{2}$ 求：${\tan }^2(x+y)$

解题注意事项

1. 检查角度范围
2. 注意符号问题
3. 合理选择恒等式
4. 化简步骤完整
5. 验证结果合理性

解题策略

1. 基本恒等式

   • 先尝试最基本的变换
   • 考虑平方和差

2. 复杂问题

   • 分解为简单步骤
   • 寻找已知模式
   • 合理设置中间变量

3. 特殊角度

   • 利用周期性
   • 使用对称性
   • 转化为基本角

4. 参数问题

   • 列出方程
   • 比较系数
   • 验证解的合理性