降幂公式

三角函数幂降阶公式是将高次幂的三角函数表达式转化为低次幂形式的重要工具，在积分计算中有广泛应用。

基本公式

平方降阶： $cos^{2} θ = \frac{1 + c o s ( 2 θ )}{2}$ $sin^{2} θ = \frac{1 - c o s ( 2 θ )}{2}$
半角公式： $cos (\frac{θ}{2}) = \pm \frac{1 + c o s θ}{2}$ $sin (\frac{θ}{2}) = \pm \frac{1 - c o s θ}{2}$ $tan (\frac{θ}{2}) = \pm \frac{1 - c o s θ}{1 + c o s θ}$

应用技巧

步骤:
  - 识别高次项
  - 选择合适公式
  - 逐步降阶
  - 化简结果

变换方式:
  - 直接代入
  - 递归降阶
  - 结合其他公式

典型例题 $cos^{4} θ$

求：

解法：

cos^{4} θ = (cos^{2} θ)^{2} = (\frac{1 + cos ( 2 θ )}{2})^{2} = \frac{1 + 2 cos ( 2 θ ) + cos ^{2} ( 2 θ )}{4} = \frac{1 + 2 cos ( 2 θ ) + \frac{1 + c o s ( 4 θ )}{2}}{4} = \frac{3 + 4 cos ( 2 θ ) + cos ( 4 θ )}{8}

注意事项

解题策略

掌握标准

思考题

知识结构