函数的基本术语 函数(Function)：从定义域到陪域的映射关系，每个输入恰好对应一个输出 记号：f: X → Y
三个基本概念：
- 定义域(Domain)：所有可能的输入值集合X
- 陪域(Codomain)：所有可能的输出值集合Y
- 值域(Range)：实际输出值的集合f(X)，是陪域的子集
函数的特殊概念
像(Image)：对于集合A⊆X，其像是： Im(A) = {y ∈ Y | ∃a ∈ A, f(a) = y}
原像(Inverse)：对于y ∈ Y，其原像是： f⁻¹(y) = {x ∈ X | f(x) = y}
图像(Graph)：所有点对(x, f(x))的集合
函数的三个重要性质
- 单射(Injective/One-to-one)
定义：x₁≠x₂ ⟹ f(x₁)≠f(x₂)
特点：每个值域元素最多一个原像
- 满射(Surjective/Onto)
定义：值域=陪域
特点：每个陪域元素至少有一个原像
- 双射(Bijective)
- 定义：既是单射又是满射
- 特点：每个陪域元素恰好有一个原像
函数复合 复合函数(Composition)：f∘g
条件：
- g的值域必须是f的定义域的子集
- (f∘g)(x) = f(g(x))
注意：
- 复合顺序很重要
- 不是所有函数都能复合
函数的重要判定
- 垂直线测试：
判断一个图像是否为函数
任意垂直线最多与图像相交一次
- 水平线测试：
- 判断函数是否有反函数
- 任意水平线最多与图像相交一次
特殊函数
- 恒等函数：
Id_A: A → A
Id_A(a) = a
- 限制函数：
- f|_C: C → B，其中C⊆A
- 在子集上的函数限制
函数的应用示例
- 公民函数：Citizen(学生姓名) → 国籍
- 平方函数：S(x) = x²
- 限制平方函数：S|_{ℝ≤0}(x) = x²，x≤0
- 复数到整数的函数：f: ℂ → ℕ