对数

对数的定义指数函数的逆运算。

记号： $lo g_{x} y = z ⟺ x^{z} = y$

其中：

x是底数(base)

y是真数(argument)

z是指数(exponent)

不写底数时默认以10为底

对数的基本性质

$lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b c)$

$lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} \frac{b}{c}$

$lo g_{a} b^{c} = c \cdot lo g_{a} b$

$lo g_{a^{b}} c = \frac{1}{b} lo g_{a} c$

$lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$ (换底公式)

$lo g_{a} b = \frac{1}{l o g _{b} a}$

$a^{l o g_{a} b} = b$

$lo g_{a} 1 = 0$

对数方程解法要点

利用对数性质化简

注意定义域限制

检验解的有效性

例如： $lo g 2 x + lo g (x - 1) = lo g (x^{2} + 3)$

左边合并： $lo g [2 x (x - 1)] = lo g (x^{2} + 3)$

去对数： $2 x (x - 1) = x^{2} + 3$

解方程并验证

对数的实际应用

里氏地震级数

$M = lo g_{10} (\frac{I}{I _{0}})$

M是震级，I是地震强度

分贝刻度

$L = 10 lo g_{10} (\frac{I}{I _{0}})$

L是声音强度(dB)

pH值

$p H = - lo g_{10} [H^{+}]$

测量溶液酸碱度

对数运算常见错误

忽略定义域限制

忘记验证最终解

错误使用对数性质

忽略真数必须为正数

对数函数的图像特征

过点(1,0)

定义域为x>0

值域为全体实数

单调性：

当底数>1时单调递增

当0<底数<1时单调递减