函数

函数的定义

记号：f: X → Y

• X是定义域(domain)
• Y是陪域(codomain)
• 值域(range)是Y中实际被映射到的元素集合

函数的基本概念

1. 定义域：函数的所有可能输入值的集合
2. 陪域：函数可能输出值的集合
3. 值域：函数实际输出值的集合（陪域的子集）
4. 函数值：对于输入x，记作f(x)

函数的三个重要性质

1. 单射(injective/one-to-one)：

• 不同的输入得到不同的输出

• f(x₁)≠f(x₂) 当 x₁≠x₂

2. 满射(surjective/onto)：

• 陪域中每个元素都是某个输入的像

• 值域=陪域

3. 双射(bijective)：

• 同时具有单射和满射性质
• 定义域和陪域一一对应

函数的对称性

1. 偶函数：f(-x) = f(x)

• 关于y轴对称

• 例如：f(x) = x²

2. 奇函数：f(-x) = -f(x)

• 关于原点对称

• 例如：f(x) = x³

3. 周期函数：f(x) = f(x + T)

• T是周期
• 例如：sin(x)的周期是2π

函数的运算

1. 加减乘除：

• (f±g)(x) = f(x)±g(x)

• (f·g)(x) = f(x)·g(x)

• (f/g)(x) = f(x)/g(x), g(x)≠0

2. 复合函数：

• (f∘g)(x) = f(g(x))
• 要求：g的值域⊆f的定义域

函数的重要性质

1. 一个函数可以没有反函数
2. 双射函数一定有反函数
3. 复合函数不满足交换律：f∘g ≠ g∘f
4. 一个函数不能同时是奇函数和偶函数（除非f(x)=0）

函数的应用例子

1. 市场供需：价格是需求量的函数
2. 物体运动：位置是时间的函数
3. 温度转换：华氏度是摄氏度的函数
4. 概率分布：累积分布函数是概率的函数