对数

对数是指数函数的逆运算，通过将乘除运算转化为加减运算简化计算，在自然科学和工程领域有广泛应用。

底数>1

单调递增

底数<1

单调递减

z是以 x为基底y的对数，当且仅当 $x^{z} = y$ . 记为： $lo g_{x} y = z ⟺ x^{z} = y .$

概念定义示例
对数定义 $lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$ $lo g_{2} 8 = 3$
常用对数以10为底的对数 $lo g 100 = 2$
自然对数以e为底的对数 $ln e = 1$

概念	定义	示例
对数定义	$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$	$lo g_{2} 8 = 3$
常用对数	以10为底的对数	$lo g 100 = 2$
自然对数	以e为底的对数	$ln e = 1$

基本运算法则

乘法法则： $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$

除法法则： $lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} x - lo g_{a} y$

幂法则： $lo g_{a} (x^{n}) = n lo g_{a} x$

换底公式： $lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$

实际应用

应用领域公式说明
里氏地震级 $M = lo g (\frac{I}{I _{0}})$ 地震强度测量
分贝 $L = 10 lo g (\frac{I}{I _{0}})$ 声音强度测量
pH值 $p H = - lo g [H^{+}]$ 酸碱度测量

应用领域	公式	说明
里氏地震级	$M = lo g (\frac{I}{I _{0}})$	地震强度测量
分贝	$L = 10 lo g (\frac{I}{I _{0}})$	声音强度测量
pH值	$p H = - lo g [H^{+}]$	酸碱度测量

解题技巧

对数方程求解步骤：

利用对数性质合并

转化为代数方程

检验解的有效性

常见陷阱：

对数定义域必须为正数

底数必须为正且不等于1

解要满足原方程定义域

特殊值与性质

特殊值：

$lo g_{a} 1 = 0$

$lo g_{a} a = 1$

$lo g_{a} 0$ 无定义

重要性质：

单调性：底数>1时单调增

连续性：在定义域内连续

反函数：指数与对数互为反函数

基础例题：简化对数表达式 $lo g_{2} (\frac{32}{9})^{2}$ 的值

解法：
$lo g_{2} (\frac{32}{9})^{2} = 2 lo g_{2} (\frac{32}{9}) = 2 (lo g_{2} 32 - lo g_{2} 9) = 2 (5 - 2 lo g_{2} 3) = 10 - 4 lo g_{2} 3$

中级例题：对数方程 $lo g 2 x + lo g (x - 1) = lo g (x^{2} + 3)$

解法：

使用对数加法性质： $lo g 2 x (x - 1) = lo g (x^{2} + 3)$

去对数： $2 x (x - 1) = x^{2} + 3$

整理得： $x^{2} - 2 x - 3 = 0$

解得： $x = - 1$ 或 $x = 3$

检验定义域： $x > 1$ ，故 $x = 3$

高级例题：复杂对数方程 $lo g_{x} x y \times lo g_{y} x y + lo g_{x} (x - y) \times lo g_{y} (x - y) = 0$

解法：

使用换底公式转换

化简得： $(lo g x y)^{2} + (lo g (x - y))^{2} = 0$

因为平方和为0，所以两项都为0

解得： $x = \frac{5 + 1}{2}, y = \frac{5 - 1}{2}$

对数的应用

里氏地震级数： $M = lo g_{10} (\frac{I}{I _{0}})$

分贝标度： $L = 10 lo g_{10} (\frac{I}{I _{0}})$

pH值： $p H = - lo g_{10} [H^{+}]$

例如：8.3级地震比4.1级地震强烈约 $1 0^{8.3 - 4.1} \approx 15849$ 倍

常用对数性质

性质公式例子
加法 $lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b c)$ $lo g_{2} 5 + lo g_{2} 6 = lo g_{2} 30$
减法 $lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} (\frac{b}{c})$ $lo g_{2} 18 - lo g_{2} 6 = lo g_{2} 3$
幂运算 $lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} b$ $lo g_{3} (5^{- 4}) = - 4 lo g_{3} 5$
换底公式 $lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$ $lo g_{2} π = \frac{l o g π}{l o g 2}$

性质	公式	例子
加法	$lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b c)$	$lo g_{2} 5 + lo g_{2} 6 = lo g_{2} 30$
减法	$lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} (\frac{b}{c})$	$lo g_{2} 18 - lo g_{2} 6 = lo g_{2} 3$
幂运算	$lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} b$	$lo g_{3} (5^{- 4}) = - 4 lo g_{3} 5$
换底公式	$lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$	$lo g_{2} π = \frac{l o g π}{l o g 2}$