匀变速运动的平均数

从匀变速运动的物理量公式中发现算数平均数、几何平均数、二次平均数、调和平均数的关系。

匀变速直线运动中有以下几个重要的物理量和公式：

初速度 $v_{0}$ ，末速度 $v_{t}$ ，加速度 $a$ ，时间 $t$ ，位移 $x$ 。
速度公式： $v_{t} = v_{0} + a t$ 。
位移公式： $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ 。

对于匀变速直线运动中的初速度 $v_{0}$ 和末速度 $v_{t}$ ，它们的算术平均数为 $\overline{v}_{1} = \frac{v _{0} + v _{t}}{2}$ .

设匀变速直线运动的位移为 $x$ ，时间为 $t$ ，则平均速度 $v_{平} = \frac{x}{t}$ 。
由位移公式 $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ，速度公式 $v_{t} = v_{0} + a t$ ，可得 $x = \frac{v _{0} + v _{t}}{2} t$ ，则平均速度 $v_{平} = \frac{v _{0} + v _{t}}{2}$ 。
假设位移 $x$ 一定，根据 $x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ，当加速度 $a = 0$ 时，速度不变，此时 $v_{0} = v_{t}$ ，平均速度 $v_{平} = v_{0} = v_{t}$ 。
当加速度 $a \neq = 0$ 时， $v_{0} \neq = v_{t}$ ，根据均值不等式，对于正数 $v_{0}$ 和 $v_{t}$ ，有 $v_{0} v_{t} \leq \frac{v _{0} + v _{t}}{2}$ ，当且仅当 $v_{0} = v_{t}$ 时取等号。
所以在匀变速直线运动中，初速度 $v_{0}$ 和末速度 $v_{t}$ 的几何平均数 $v_{0} v_{t}$ 小于等于它们的算术平均数 $\frac{v _{0} + v _{t}}{2}$ 。

初速度 $v_{0}$ 和末速度 $v_{t}$ 的二次平均数定义为 $\frac{v _{0}^{2} + v _{t}^{2}}{2}$ 。
根据 $(v_{0} - v_{t})^{2} \geq 0$ ，展开可得 $v_{0}^{2} + v_{t}^{2} - 2 v_{0} v_{t} \geq 0$ ，即 $v_{0}^{2} + v_{t}^{2} \geq 2 v_{0} v_{t}$ ，两边同时除以 $2$ 再开方，得到 $\frac{v _{0}^{2} + v _{t}^{2}}{2} \geq \frac{v _{0} + v _{t}}{2}$ ，当且仅当 $v_{0} = v_{t}$ 时取等号。
所以在匀变速直线运动中，初速度 $v_{0}$ 和末速度 $v_{t}$ 的二次平均数大于等于它们的算术平均数。

初速度 $v_{0}$ 和末速度 $v_{t}$ 的调和平均数定义为 $\frac{2}{\frac{1}{v _{0}} + \frac{1}{v _{t}}} = \frac{2 v _{0} v _{t}}{v _{0} + v _{t}}$ 。
同样根据均值不等式， $\frac{2}{\frac{1}{v _{0}} + \frac{1}{v _{t}}} \leq v_{0} v_{t}$ ，即调和平均数小于等于几何平均数。
又因为 $v_{0} v_{t} \leq \frac{v _{0} + v _{t}}{2}$ ，所以调和平均数小于等于算术平均数。

基本物理量公式

速度公式：

$v = v_{0} + a t$

位移公式： $s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

平均速度： $\overline{v} = \frac{v _{0} + v _{t}}{2}$

平均数关系发现

算术平均数(A)：

初末速度的算术平均 = $\frac{v _{0} + v}{2}$

等于平均速度

几何平均数(G)：

$v_{0} v$ = 中间时刻的瞬时速度

$G = A B$ ，其中A为算术平均，B为调和平均

二次平均数(Q)

速度的二次平均： $Q = \frac{v _{0}^{2} + v ^{2}}{2}$

物理意义：

与动能相关

表示速度的均方根

调和平均数(H)

速度的调和平均：

$H = \frac{2}{\frac{1}{v _{0}} + \frac{1}{v}}$

物理意义：

往返运动的平均速度

与时间倒数相关

平均数大小关系 $v_{0}$ 和 $v$ ： $Q \geq A \geq G \geq H$

特殊情况：

当 $v_{0} = v$ 时，四个平均数相等

差异越大，不等式越明显

这种通过物理模型发现数学关系的方法，不仅加深了对平均数的理解，也展示了数学与物理的紧密联系。

在匀变速直线运动中，对于初速度 $v_{0}$ 和末速度 $v_{t}$ ，它们的调和平均数 $\frac{2 v _{0} v _{t}}{v _{0} + v _{t}}$ 小于等于几何平均数 $v_{0} v_{t}$ 小于等于算术平均数 $\frac{v _{0} + v _{t}}{2}$ 小于等于二次平均数 $\frac{v _{0}^{2} + v _{t}^{2}}{2}$ ，当且仅当 $v_{0} = v_{t}$ 时，等号成立。