AM-GM算术与几何平均值

算术平均值 $\frac{a+b}{2}$，在直线上，对应的点是以a和b为端点的线段的中点。

两个数a和b的算数平均值定义为

如何证明两个数在直线上的中点是两个数的算数平均值？

1. 不失一般性，假设$a<b$
2. 两点之间的距离是$b-a$,距离的一半是$\frac{b-a}{2}$
3. 中点是$a+\frac{b-a}{2}=\frac{2a+b-a}{2}=\frac{a+b}{2}$

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几何平均值 $\sqrt{ab}$

两个非负数a和b的几何平均值时乘积的平方根，计为

既然是一个平均数，从数列角度看AM-GM：

数列角度 $a,(a和b的算术或几何平均数),b$

根据定义列出方程

1. 算术平均值是一个数$x$，使得$x-a=b-x$
2. 几何平均数是一个数$x$，使得$\frac{x}{a}=\frac{b}{x},(a,b>0)$

既然算术平均数的意义是两点之间的中点，那么进一步想一想几何平均数的几何意义？