调和平均数

调和平均数(harmonic mean)是一种特殊的平均值，其倒数等于各数据倒数的算术平均值，在处理速率、时间等倒数关系问题中有重要应用。

定义与公式

• 基本定义：$\frac{n}{H}={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}$
• 计算公式：$H=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}$
• 两个数的调和平均数：$H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$

典型应用场景

1. Ben 解一道数学题需 10 分钟，Gwen 需 6 分钟，Kevin 需 15 分钟，求这个团队平均每人解一道题所需时间，可利用调和平均数求解。
2. 厨师团队问题：厨师 A 做一道菜需 4 分钟，厨师 B 需 8 分钟，新加入厨师 D（6 分钟）和厨师 E（9 分钟）后，若平均烹饪时间不变，求未知能力厨师 C 的做菜时间。
3. 并联电路
4. 人均产量等

计算步骤

1. 将所有数取倒数
2. 求倒数的算术平均数
3. 最后再取倒数

例如：求1, $\frac{3}{2}$, 3的调和平均数

$$\begin{array}{rl}H& =\frac{3}{1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}\\ & =\frac{3}{\frac{6}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}\\ & =\frac{3}{\frac{9}{3}}=\frac{3}{2}\end{array}$$

性质

1. 调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数
2. 只有当所有数相等时，三种平均数相等
3. 调和平均数的倒数是倒数的算术平均数
4. 对于正数序列，调和平均数是最小的经典平均数