三角不等式

三角不等式是三角学中的重要内容，它们描述了三角函数之间的关系以及三角形的性质。

正弦余弦平方和恒等式和不等式

等式：sin²θ + cos²θ = 1 不等式：sin²θ ≤ 1 和 cos²θ ≤ 1

正弦和余弦

1. -1 ≤ sinθ ≤ 1
2. -1 ≤ cosθ ≤ 1

正切和余切的关系不等式

1. $\left|tan\theta \right|\ge \left|sin\theta \right|$
2. $\left|cot\theta \right|\ge \left|cos\theta \right|$

三角形边角关系不等式 $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$ 由此可以推导出：

1. 如果 A > B，则 a > b
2. 如果 a > b，则 A > B

三角形边长不等式 $a+b>c,b+c>a,c+a>b$

在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。

推导：这可以从向量加法或几何直观得到。

余弦定理的不等式

1. 当 C 为钝角时，cosC < 0，所以 c² > a² + b²
2. 当 C 为直角时，cosC = 0，所以 c² = a² + b²（毕达哥拉斯定理）
3. 当 C 为锐角时，cosC > 0，所以 c² < a² + b²

正弦和余弦的和差不等式

1. $|sin\alpha \pm sin\beta |\le 2$
2. $|cos\alpha \pm cos\beta |\le 2$

用一个概念图来展示这些不等式之间的关系：

graph LR
    A[三角不等式] --> B[函数值范围]
    A --> C[函数关系]
    A --> D[三角形性质]

    B --> E[-1 ≤ sinθ ≤ 1]
    B --> F[-1 ≤ cosθ ≤ 1]

    C --> G["$$\left|tanθ\right| ≥ \left |sinθ\right|$$"]
    C --> H["$$\left|cotθ\right| ≥ \left|cosθ\right|$$"]

    D --> I[边角关系]
    D --> J[边长关系]

    I --> K[a/sinA = b/sinB = c/sinC]
    J --> L[a + b > c]

    M[余弦定理] --> N[c² ⋚ a² + b²]

    O[和差不等式] --> P["$$ \left |sinx ± siny\right| ≤ 2$$"]
    O --> Q["$$\left |cosx ± cosy\right| ≤ 2$$"]

    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:4px
    style B fill:#bbf,stroke:#f66,stroke-width:2px
    style C fill:#bfb,stroke:#f66,stroke-width:2px
    style D fill:#fbf,stroke:#f66,stroke-width:2px