不等式画布

QM-AM 不等式
均方根大于等于算数平均数。

\frac{a _{1}^{2} + \dots + a _{k}^{2}}{k} f_{QM} \geq \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n} \geq f_{AM}

AM-GM 不等式

算术平均数 - 几何平均数（AM-GM）不等式描述的是：非负实数的算术平均数大于或等于同一列表的几何平均数；当且仅当列表中的每个数字都相同时，等号成立。

从数学上讲，对于 𝑛 个非负实数

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

：

\frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n} \geq n a_{1} a_{2} \dots a_{n},

Quadratic Mean均方根（二次均值）

假设给定的数据是用它们的平方加权的。在这种情况下，我们可以考虑一个均值，它具有这样的特性：

k

乘以均值的平方等于各值的平方之和：

k f_{QM}^{2} = a_{1}^{2} + \dots + a_{k}^{2}

f_{QM} = \frac{a _{1}^{2} + \dots + a _{k}^{2}}{k}

(1 \cdot a_{1} + 1 \cdot a_{2} + \dots + 1 \cdot a_{n})^{2} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2} \leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots + a_{n}^{2}) (1 + 1 + \dots + 1) \geq \frac{( 1 \cdot a _{1} + 1 \cdot a _{2} + \dots + 1 \cdot a _{n} ) ^{2}}{n} .

当

n = 2

时：

a_{1}^{2} + a_{2}^{2} \frac{a _{1}^{2} + a _{2}^{2}}{2} \frac{a _{1}^{2} + a _{2}^{2}}{2} \geq \frac{( a _{1} + a _{2} ) ^{2}}{2} \geq \frac{( a _{1} + a _{2} ) ^{2}}{4} \geq \frac{a _{1} + a _{2}}{2}

柯西-施瓦茨不等式

指出对于所有实数序列，我们有

(i = 1 \sum n a_{i}^{2}) (i = 1 \sum n b_{i}^{2}) \geq (i = 1 \sum n a_{i} b_{i})^{2} .