三角不等式的一次探索

已知 $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ ,那么 $s in α + cos α$ 的取值范围可能是多大？

sin\alpha+cos\alpha < 2?

If sin α = 1, then cos α = 0 and sin α+ cos α = 1. If cos α = 1, then
sin α = 0 and sin α+ cos α = 1. Otherwise, sin α < 1 and cos α < 1, so sin α+ cos α<2.

对任意锐角,

sin\alpha+cos\alpha \ge 1?

\begin{align}(sin α+ cos α)^2 = sin^2α+ 2sin αcos α+ cos^2α \\ = (sin^2 α+ cos^2 α) + 2 sin αcos α \\ = 1 + 2 sin αcos α\end{align}

...

对任意锐角,

sin\alpha+cos\alpha

的最大值可能大于 1.5？。

此三角不等式等价于代数基本不等式，即 $x^{2} + y^{2} = 1$ , $x + y$ 或 $x y$ 的最值问题。

了解三角恒等式及二次平均值 QM 之后，此问题可分别进行三角不等式的二次探索和三角不等式的三次探索。