几何平均数

几何平均数**是一种幂平均数，对于正实数集合{a₁, a₂, …, aₙ}，$GM(a_1,...,a_n)=\sqrt[n]{a_1{a}_2...a_n}$

几何平均数的定义 几何平均数是一种幂平均数，对于正实数集合{a₁, a₂, ..., aₙ}，其几何平均数为：

$GM(a_1,...,a_n)=\sqrt[n]{a_1{a}_2...a_n}$

例如：

• $GM(4,9)=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$
• $GM(8,27,64)=\sqrt[3]{8\cdot 27\cdot 64}=24$

几何意义 在直角三角形中：

1. 如果直角边长度为a和b
2. 则高线将斜边分成两段
3. 高线长度$h=\sqrt{ab}$
4. 即高线长度是两段斜边长度的几何平均数

这就是”几何平均数”名称的由来

重要性质

1. 对数性质：

• log(GM) = (log a₁ + log a₂ + … + log aₙ)/n

• 几何平均数的对数等于对数的算术平均数

2. 不等式关系：

• AM ≥ GM（算术-几何平均不等式）
• (a+b)/2 ≥ √ab
• 当且仅当所有数相等时取等号

应用场景

1. 增长率计算：

• 多期间的平均增长率

• 复利计算

2. 物理量计算：

• 平均速度

• 电路中的平均电阻

3. 数据分析：

• 比率型数据的平均值
• 价格指数计算

注意事项

1. 只适用于正数
2. 对极端值不敏感
3. 计算时注意开方的正确性
4. 不要与算术平均数混淆

计算技巧

1. 简化计算：

• 利用对数转换

• 分组计算

• 利用性质化简

2. 特殊情况：

• 两数$GM=\sqrt{ab}$
• 等比数列的GM：$GM=\sqrt{a_1{a}_n}$
• n个相等数的GM = 该数本身