叉积

[A] 向量叉积是一种向量运算 [B] 向量叉积的结果是一个新向量 [C] 向量叉积的方向垂直于两个输入向量所在平面 [D] 向量叉积的大小等于两个向量所张成的平行四边形面积 [E] 向量叉积满足反交换律: A×B = -B×A [F] 向量叉积不满足结合律: (A×B)×C ≠ A×(B×C)

1. A ∧ B ⇒ 向量叉积是将两个向量映射到一个新向量空间的运算
2. A ∧ C ⇒ 向量叉积创建了一个维度转换机制
3. C ∧ D ⇒ 向量叉积同时编码了方向信息和面积信息
4. E ⇒ 向量叉积的顺序会影响结果的正负
5. F ⇒ 向量叉积的多重运算需要谨慎处理计算顺序

叉积的定义 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$和$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，其叉积定义为：

1. 代数定义：

$$\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|$$

2. 几何定义：

• 方向：两维向量围成平行四边形的面积。
• 大小：$|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$

基本性质

1. 反交换性：

• $\vec{a}\times \vec{b}=-(\vec{b}\times \vec{a})$

2. 分配律：

• $\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$

3. 标量乘法：

• $c(\vec{a}\times \vec{b})=(c\vec{a})\times \vec{b}=\vec{a}\times (c\vec{b})$

4. 自叉积为零：

• $\vec{a}\times \vec{a}=\vec{0}$

几何意义

1. 面积计算：

• 平行四边形面积 = $|\vec{a}\times \vec{b}|$

• 三角形面积 = $\frac{1}{2}|\vec{a}\times \vec{b}|$

2. 体积计算：

• 平行六面体体积 = $|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times \vec{c})|$

特殊关系

1. 与点积的关系：

• $\vec{a}\cdot (\vec{a}\times \vec{b})=0$

• $\vec{b}\cdot (\vec{a}\times \vec{b})=0$

2. 拉格朗日恒等式：

• $|\vec{a}\times \vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2$