向量分解

向量分解是将一个向量表示为多个向量之和的过程，这是理解和处理向量运算的基础工具。

向量分解的基本概念

向量分解是将一个向量拆分为两个或多个向量的和：

基本定义：

$V = V_{1} + V_{2} + ... + V_{n}$

分解后的向量称为分量向量

标准分解：

$V = v_{x} \hat{i} + v_{y} \hat{j} + v_{z} \hat{k}$

分解为坐标轴方向的分量

基本单位向量

$\hat{i}$ 或 $\overset{x}{^} = (1, 0, 0)$

$\hat{j}$ 或 $\overset{y}{^} = (0, 1, 0)$

$\hat{k}$ 或 $\overset{z}{^} = (0, 0, 1)$

特点：

正交归一化

两两垂直

长度为1

分解方法

坐标轴分解：

将向量分解为平行于坐标轴的分量

$V = (v_{x}, v_{y}, v_{z}) = v_{x} \hat{i} + v_{y} \hat{j} + v_{z} \hat{k}$

任意方向分解：

可以选择任意合适的基向量

需要解线性方程组确定系数

应用示例

平行向量判定：

$a = m b$ ，存在标量m

分量比例相等

向量方程求解：

建立分量方程组

解出未知参数

注意事项

分解的唯一性：

给定基向量组时解唯一

不同基向量组可得不同分解

正交性质：

标准基向量互相正交

$\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{i} = 0$

实际应用

物理分析：

力的分解

速度分解

加速度分解

工程计算：

结构分析

运动规划

坐标变换