向量点积📔

向量点积是向量代数中的基本运算，它将两个向量映射为一个标量。

• 代数定义：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|a||b|\cos \theta$
  1. $|a|$, $|b|$ 是向量的模长
  2. $\theta$ 是两个向量之间的夹角 ($0°\le \theta \le 180°$)
• 坐标定义：
  1. 二维：$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y$
  2. 三维：$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$
  3. 一般：$\vec{a}\cdot \vec{b}={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i$
• 结果：点积的结果是一个标量，不是向量

• 向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$方向上的投影与$|\vec{b}|$的乘积
• 即：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cos \theta \cdot |\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$
• 投影长度：$|\vec{a}|\cos \theta$
• 表示一个向量在另一个向量方向上的”有效分量”

• 交换律：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$
• 分配律：$\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$
• 标量结合律：$(k\vec{a})\cdot \vec{b}=k(\vec{a}\cdot \vec{b})$
• 自身点积：$\vec{a}\cdot \vec{a}=|a{|}^2$
• 零向量点积：$\vec{0}\cdot \vec{a}=0$

• 正交向量：$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 当且仅当 $\vec{a}\perp \vec{b}$ 或其中一个为零向量
• 同向向量：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|a||b|$ 当且仅当 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 方向相同
• 反向向量：$\vec{a}\cdot \vec{b}=-|a||b|$ 当且仅当 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 方向相反

计算向量夹角

• $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|a||b|}$
• 可用于判断两向量的关系：
  1. $\vec{a}\cdot \vec{b}>0$：锐角 ($\theta <90°$)
  2. $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$：直角 ($\theta =90°$)
  3. $\vec{a}\cdot \vec{b}<0$：钝角 ($\theta >90°$)

向量投影

• 向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$方向上的投影：$pro{j}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|b|}$
• 投影向量：$pro{j}_{\vec{b}}\vec{a}\cdot \frac{\vec{b}}{|b|}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|b{|}^2}\vec{b}$

正交分解

• 任意向量$\vec{a}$可分解为平行于$\vec{b}$和垂直于$\vec{b}$的两个分量：
  1. 平行分量：${\vec{a}}_{\parallel }=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|b{|}^2}\vec{b}$
  2. 垂直分量：${\vec{a}}_{\perp }=\vec{a}-{\vec{a}}_{\parallel }$

物理应用

• 功的计算：$W=\vec{F}\cdot \vec{s}=|F||s|\cos \theta$
  1. $\vec{F}$ 是力，$\vec{s}$ 是位移
  2. 只有力在位移方向上的分量做功
• 电功率：$P=\vec{E}\cdot \vec{J}$（电场与电流密度的点积）
• 力矩：判断力是否产生转动效果

• 余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \theta$
• 向量形式：$|\vec{c}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$
• 其中 $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$