向量的模

向量的模是向量分析中的基础概念，它为向量提供了大小的度量。

• 定义：向量的模（magnitude）是表示向量长度或大小的非负实数。
• 符号表示：
  1. $|\vec{v}|$
  2. $\Vert \vec{v}\Vert$
  3. $\Vert \vec{v}{\Vert }_2$（特指欧几里得范数）
• 几何意义：
  1. 二维/三维空间：从向量起点到终点的直线距离
  2. 高维空间：向量在空间中的”长度”
• 数学本质：向量到标量的映射函数

二维空间中的向量模

• 向量表示：$\vec{v}=(v_1,v_2)$ 或 $\vec{v}=v_1\hat{i}+v_2\hat{j}$
• 计算公式：$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$
• 几何解释：直角三角形斜边长度（毕达哥拉斯定理）
• 示例：
  1. $\vec{v}=(3,4)$
  2. $|\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

三维空间中的向量模

• 向量表示：$\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ 或 $\vec{v}=v_1\hat{i}+v_2\hat{j}+v_3\hat{k}$
• 计算公式：$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$
• 示例：
  1. $\vec{v}=(2,3,6)$
  2. $|\vec{v}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$

n维空间中的向量模

• 向量表示：$\vec{v}=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$
• 计算公式：$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\dots +v_n^2}=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{v}_i^2}$
• 内积形式：$|\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}}=\sqrt{⟨\vec{v},\vec{v}⟩}$

基本性质

• 非负性：$|\vec{v}|\ge 0$，且$|\vec{v}|=0$当且仅当$\vec{v}=\vec{0}$
• 齐次性：$|k\vec{v}|=|k||\vec{v}|$，其中$k$是任意标量
• 三角不等式：$|\vec{u}+\vec{v}|\le |\vec{u}|+|\vec{v}|$
• 反三角不等式：$|\vec{u}-\vec{v}|\ge ||\vec{u}|-|\vec{v}||$

与内积的关系

• 内积定义：$\vec{u}\cdot \vec{v}={\sum }_{i=1}^n{u}_i{v}_i$
• 模的平方：$|\vec{v}{|}^2=\vec{v}\cdot \vec{v}$
• 夹角公式：$\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos \theta$，其中$\theta$是向量间的夹角
• 柯西-施瓦茨不等式：$|\vec{u}\cdot \vec{v}|\le |\vec{u}||\vec{v}|$

单位向量

• 定义：模等于1的向量
• 计算方法：$\hat{v}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$（向量归一化）
• 性质：$|\hat{v}|=1$
• 用途：
  1. 表示方向
  2. 构建标准正交基
  3. 简化计算