distance by vector styles

设A(x₁,y₁,z₁), B(x₂,y₂,z₂)两点：

1. 向量表示： $\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$

2. 距离公式： $d=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

3. 用点积表示： $d=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}}$

推导过程：

1. 位置向量表示： $\vec{A}=(x_1,y_1,z_1)$ $\vec{B}=(x_2,y_2,z_2)$

2. 向量差： $\overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A}$

3. 点积展开： $|\overrightarrow{AB}{|}^2=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}$ $=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2$

4. 开方得距离： $d=\sqrt{|\overrightarrow{AB}{|}^2}$

1. 二维平面： $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

2. 单位向量表示： 若 $\vec{u}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，则： $d=\overrightarrow{AB}\cdot \vec{u}$

3. 原点到点距离： 当A为原点时： $d=\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}=|\vec{B}|$

优点：

1. 坐标无关性： $d=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}}$ 与坐标系选择无关

2. 运算便利性：

• 可直接用向量运算
• 便于推广到高维
• 适合计算机处理

3. 几何直观性：

• 体现向量几何意义
• 便于理解空间关系