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例题1：计算向量 $\vec{a}=(3,-1,4)$ 和 $\vec{b}=(2,5,-2)$ 的和，并求和向量的模长。

解析：

• 向量加法：$\vec{a}+\vec{b}=(3+2,-1+5,4+(-2))=(5,4,2)$
• 和向量的模长：$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{5^2+4^2+2^2}=\sqrt{25+16+4}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

例题2：已知三角形的三个顶点坐标为 $A(1,2,3)$, $B(4,-1,2)$ 和 $C(2,3,-1)$，求三角形的重心坐标。

解析：

1. 将顶点表示为向量：$\vec{a}=(1,2,3)$, $\vec{b}=(4,-1,2)$, $\vec{c}=(2,3,-1)$
2. 三角形的重心是三个顶点坐标的平均值： $\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}=\frac{(1,2,3)+(4,-1,2)+(2,3,-1)}{3}=\frac{(7,4,4)}{3}=(\frac{7}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3})$
3. 因此，重心坐标为 $G(\frac{7}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3})$

例题3：证明：若 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ 是三个非零向量，且 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，则这三个向量共面。

解析：

1. 向量共面意味着存在不全为零的实数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 使得 $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\vec{0}$
2. 已知 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，即 $\vec{a}=-\vec{b}-\vec{c}$
3. 这表明 $\vec{a}$ 可以表示为 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 的线性组合，即 $1\cdot \vec{a}+1\cdot \vec{b}+1\cdot \vec{c}=\vec{0}$
4. 因此，这三个向量线性相关，必定共面