三角形的向量表示

• 三角形由三个顶点定义: $A$, $B$, $C$
• 顶点的位置向量: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$
• 边向量:
  1. $\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$
  2. $\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$
  3. $\overrightarrow{CA}=\vec{a}-\vec{c}$
• 边向量满足闭合条件: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$

想象三角形就像是一次三地旅行，每个位置向量告诉你从家（原点）到各个城市（顶点）的路线，而边向量则表示城市之间的直接路径。

• 向量叉积法: $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$
• 面积向量: $\vec{S}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC})$
  1. 面积向量的模长等于三角形面积
  2. 面积向量的方向垂直于三角形平面
• 行列式表示: $S=\frac{1}{2}\left|\det \left(\begin{array}{ccc}{x}_B-x_A& y_B-y_A& z_B-z_A\\ x_C-x_A& y_C-y_A& z_C-z_A\end{array}\right)\right|$

• 单位法向量: $\hat{n}=\frac{\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|}$
• 法向量与三角形平面垂直
• 法向量方向遵循右手法则
• 平面方程: $\hat{n}\cdot (\vec{r}-\vec{a})=0$，其中$\vec{r}$是平面上任意点

• 重心位置向量: $\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$
• 重心到各顶点的向量和为零: $(\vec{a}-\vec{g})+(\vec{b}-\vec{g})+(\vec{c}-\vec{g})=\vec{0}$
• 重心将每条中线按2:1的比例分割

• 任意点$P$可表示为: $\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}$
• 满足条件: $\alpha +\beta +\gamma =1$
• 点$P$在三角形内部的条件: $\alpha ,\beta ,\gamma \ge 0$
• 面积比例关系: $\alpha =\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}}$, $\beta =\frac{S_{PCA}}{S_{ABC}}$, $\gamma =\frac{S_{PAB}}{S_{ABC}}$

• 三角形中线向量: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}-\vec{a}$（$M$是$BC$的中点）
• 高的向量表示: $\vec{h}=\vec{a}-\vec{b}-\frac{(\vec{a}-\vec{b})\cdot (\vec{c}-\vec{b})}{|\vec{c}-\vec{b}{|}^2}(\vec{c}-\vec{b})$
• 内角计算: $\cos (A)=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$

1. 判断三点共线：若$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$（k为实数），则三点共线
2. 计算三角形内角：利用向量的点积 $\cos \angle BAC=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}$
3. 判断三角形类型：通过向量点积可判断锐角、直角或钝角三角形

• 计算机图形学中的三角形渲染
• 碰撞检测算法
• 物理模拟中的力和力矩计算
• 计算几何中的三角剖分
• 有限元分析中的网格生成