单位向量

单位向量是长度(模)为1的向量：

给定向量$\vec{V}$，除以模长，得到归一化后的单位向量： $\hat{V}=\frac{\vec{V}}{|\vec{V}|}$

特点：

• 与原向量方向相同
• 大小为1
• 常用帽子符号(^)表示

标准单位向量

1. $\hat{i}$ 或 $\hat{x}=(1,0,0)$
2. $\hat{j}$ 或 $\hat{y}=(0,1,0)$
3. $\hat{k}$ 或 $\hat{z}=(0,0,1)$

性质：相互正交且长度为1(正交归一化)

计算示例

求向量$\vec{D}=⟨4,3⟩$的单位向量：

1. 计算模长：$|\vec{D}|=\sqrt{4^2+3^2}=5$
2. 单位化：$\hat{D}=\frac{\vec{D}}{|\vec{D}|}=⟨\frac{4}{5},\frac{3}{5}⟩$

向量分解

$\vec{V}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}$

优点：

• 分离方向和大小
• 便于计算和分析
• 简化向量运算

注意事项

1. 单位向量的点积：

• $\hat{i}\cdot \hat{i}=\hat{j}\cdot \hat{j}=\hat{k}\cdot \hat{k}=1$

• $\hat{i}\cdot \hat{j}=\hat{j}\cdot \hat{k}=\hat{k}\cdot \hat{i}=0$

2. 计算时注意：

• 不要忘记归一化
• 保持方向不变
• 检查模长是否为1