向量加法

给定两个向量 $\vec{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 和 $\vec{b}=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$，它们的和定义为： $\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n)$ 即对应分量相加。

1. 几何解释：

   1. 三角形法则：将向量 $\vec{b}$ 的起点放在向量 $\vec{a}$ 的终点，则从 $\vec{a}$ 的起点到 $\vec{b}$ 的终点的向量即为 $\vec{a}+\vec{b}$
   2. 平行四边形法则：以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为邻边作平行四边形，则对角线表示 $\vec{a}+\vec{b}$

2. 物理解释：

   1. 位移的合成：先沿 $\vec{a}$ 方向移动，再沿 $\vec{b}$ 方向移动，等效于沿 $\vec{a}+\vec{b}$ 方向移动
   2. 力的合成：两个力 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 同时作用，等效于一个力 $\vec{a}+\vec{b}$

• 向量加法：$\vec{a}+\vec{b}$ 或 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$
• 向量减法：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$，其中 $-\vec{b}=(-b_1,-b_2,\dots ,-b_n)$
• 多向量加法：${\sum }_{i=1}^m{\vec{v}}_i={\vec{v}}_1+{\vec{v}}_2+\dots +{\vec{v}}_m$

1. 交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
2. 结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$
3. 零向量性质：$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$
4. 负向量性质：$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$
5. 分配律（与标量乘法结合）：$k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$

1. 向量加法与模长关系：一般情况下，$|\vec{a}+\vec{b}|\ne |\vec{a}|+|\vec{b}|$
2. 三角不等式：$|\vec{a}+\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$，当且仅当 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 方向相同时取等号
3. 平行四边形对角线定理：平行四边形的两条对角线互相平分

1. 向量和的模长🔗： $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ 其中 $\theta$ 是向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 之间的夹角

2. 中点公式：向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的中点向量为 $\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

3. 向量平均值：$n$ 个向量的平均值为 $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{\vec{v}}_i$

1. 平行向量加法：若 $\vec{a}\parallel \vec{b}$（即 $\vec{a}=k\vec{b}$ 其中 $k$ 为标量）

   1. 同向时：$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$
   2. 反向时：$|\vec{a}+\vec{b}|=||\vec{a}|-|\vec{b}||$

2. 正交向量加法：若 $\vec{a}\perp \vec{b}$（即 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$）

   1. $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$（勾股定理）

3. 单位向量加法：若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$

   1. $|\vec{a}+\vec{b}|=2\cos (\theta /2)$，其中 $\theta$ 是两向量间的夹角

1. 向量减法：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$，几何上表示从 $\vec{b}$ 的终点指向 $\vec{a}$ 的终点的向量
2. 向量的线性组合：任意向量可以表示为基向量的线性组合
3. 向量平行四边形面积：以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为邻边的平行四边形面积为 $|\vec{a}\times \vec{b}|$

1. 物理学：

   1. 力的合成与分解
   2. 速度和加速度的合成
   3. 电磁场的叠加

2. 计算机图形学：

   1. 物体的平移变换
   2. 路径规划
   3. 碰撞检测

3. 工程学：

   1. 结构分析
   2. 电路分析（基尔霍夫定律）
   3. 流体力学

1. 与线性代数的联系：向量加法是线性空间公理之一
2. 与几何学的联系：向量加法提供了处理几何问题的代数工具
3. 与物理学的联系：物理量的合成遵循向量加法规则
4. 与计算机科学的联系：图形渲染、游戏物理引擎中的向量运算

例题1：计算向量 $\vec{a}=(3,-1,4)$ 和 $\vec{b}=(2,5,-2)$ 的和，并求和向量的模长。

解析：

• 向量加法：$\vec{a}+\vec{b}=(3+2,-1+5,4+(-2))=(5,4,2)$
• 和向量的模长：$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{5^2+4^2+2^2}=\sqrt{25+16+4}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

例题2：已知三角形的三个顶点坐标为 $A(1,2,3)$, $B(4,-1,2)$ 和 $C(2,3,-1)$，求三角形的重心坐标。

解析：

1. 将顶点表示为向量：$\vec{a}=(1,2,3)$, $\vec{b}=(4,-1,2)$, $\vec{c}=(2,3,-1)$
2. 三角形的重心是三个顶点坐标的平均值： $\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}=\frac{(1,2,3)+(4,-1,2)+(2,3,-1)}{3}=\frac{(7,4,4)}{3}=(\frac{7}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3})$
3. 因此，重心坐标为 $G(\frac{7}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3})$

例题3：证明：若 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ 是三个非零向量，且 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，则这三个向量共面。

解析：

1. 向量共面意味着存在不全为零的实数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 使得 $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\vec{0}$
2. 已知 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，即 $\vec{a}=-\vec{b}-\vec{c}$
3. 这表明 $\vec{a}$ 可以表示为 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 的线性组合，即 $1\cdot \vec{a}+1\cdot \vec{b}+1\cdot \vec{c}=\vec{0}$
4. 因此，这三个向量线性相关，必定共面

错误类型：混淆向量加法和向量的模长加法

• 错误理解：$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$
• 正确理解：一般情况下，$|\vec{a}+\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$，只有当向量平行且同向时才取等号

1. 代数与几何结合：

   1. 代数上：分量相加
   2. 几何上：三角形法则或平行四边形法则

2. 分解与合成：

   1. 将复杂向量分解为基本向量
   2. 将多个向量合成为一个合向量

3. 坐标系选择：

   1. 选择合适的坐标系可以简化向量加法计算
   2. 在某些问题中，极坐标或其他坐标系可能比直角坐标系更方便

1. 线性思想：向量加法体现了线性性质
2. 不变量思想：向量加法在坐标变换下保持不变
3. 几何直观：利用几何图形理解向量运算

1. 掌握向量加法的代数定义和几何解释
2. 理解向量加法的基本性质（交换律、结合律等）
3. 练习在不同维度空间中应用向量加法
4. 将向量加法与实际问题（如物理问题）结合起来理解

1. 二维平面中的向量加法：

   1. 三角形法则：首尾相连
   2. 平行四边形法则：共起点，构成平行四边形

2. 三维空间中的向量加法：

   1. 可以在三维坐标系中可视化
   2. 遵循相同的三角形法则和平行四边形法则

3. 向量加法的几何性质：

   1. 向量和的方向通常介于两个原向量之间
   2. 当两向量夹角为钝角时，和向量可能小于原向量

向量加法与其他数学概念的关系：

• 与线性代数中的线性组合概念紧密相连
• 是向量空间定义的基础操作之一
• 与物理学中的力的合成原理对应
• 是理解向量微积分的基础