向量的线性表示

向量的线性表示是指将一个向量表示为其他向量的线性组合，即用已知向量作为”构建块”来组装目标向量。这是线性代数中的核心概念，揭示了向量间的依赖关系和空间结构。

向量的线性表示就像用基本颜色混合出新颜色，或用基本积木搭建复杂结构。我们尝试用一组”基础向量”，通过适当的缩放和相加，来重构出目标向量。

若向量 $\vec{v}$ 可以表示为向量组 ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,...,{\vec{a}}_n$ 的线性组合，则存在一组实数 $k_1,k_2,...,k_n$，使得：

$\vec{v}=k_1{\vec{a}}_1+k_2{\vec{a}}_2+...+k_n{\vec{a}}_n={\sum }_{i=1}^n{k}_i{\vec{a}}_i$

特别地，如果 $\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,...,{\vec{e}}_n\}$ 是一组基向量，则空间中任意向量 $\vec{v}$ 都可唯一表示为：

$\vec{v}=v_1{\vec{e}}_1+v_2{\vec{e}}_2+...+v_n{\vec{e}}_n$

1. 唯一性：如果基向量线性无关，则表示系数唯一
2. 线性相关性：若 $\vec{v}$ 能被表示为其他向量的线性组合，则将 $\vec{v}$ 加入这组向量后，该组向量线性相关
3. 维数关系：n维空间中任意向量都可以由该空间的一组基（n个线性无关向量）唯一线性表示
4. 坐标本质：向量在基下的坐标就是其线性表示的系数

想象一个厨师用基本调料（盐、糖、醋等）调配菜肴口味。每种复杂口味都可以通过基本调料的特定比例组合得到。向量的线性表示就像是找到这个”配方”，确定如何组合基本向量来得到目标向量。

1. 解线性方程组：判断方程 $A\vec{x}=\vec{b}$ 是否有解，等价于判断 $\vec{b}$ 是否能由A的列向量线性表示
2. 坐标变换：将向量从一组基表示转换到另一组基的表示
3. 几何解释：判断一个点是否在由其他点确定的平面（或超平面）上
4. 数据压缩：在信号处理中，用较少的基向量近似表示原始信号

向量的线性表示是理解线性空间结构的关键。它延伸到函数空间，如傅里叶级数将函数表示为三角函数的线性组合；在量子力学中，态矢量可表示为本征态的线性组合；在机器学习中，主成分分析（PCA）寻找数据的最优线性表示。

线性表示的思想体现了数学中的简约美学：用最少的基本元素表达复杂结构，揭示看似复杂系统背后的简单规律。