向量内积

【核心概念】

1. 定义：

   1. 代数定义：$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$
   2. 几何定义：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

2. 基本性质：

   1. 交换律：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$
   2. 分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$
   3. 结合律：$(k\vec{a})\cdot \vec{b}=k(\vec{a}\cdot \vec{b})$

【几何意义】 🎯 投影模型：

• 一个向量在另一个向量上的投影
• 投影长度与被投影向量的积

【易错提示】 ⚠️ 注意：

• 内积结果是标量
• 角度取锐角或钝角
• 零向量的内积为零

【应用场景】

1. 几何应用：

   1. 判断垂直：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$
   2. 求夹角：$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
   3. 求投影：$pro{j}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}\vec{b}$

2. 物理应用：

   1. 计算功：$W=\vec{F}\cdot \vec{s}$
   2. 求功率：$P=\vec{F}\cdot \vec{v}$
   3. 计算电势：$U=\vec{E}\cdot \vec{r}$

【思维脚手架】

1. 应用步骤：
   1. 识别向量量
   2. 建立内积关系
   3. 解释物理意义

【易错提示】 ⚠️ 注意：

• 单位的统一性
• 方向的一致性
• 结果的物理意义

【解题步骤】

1. 求内积：

   1. $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 2+2\times (-1)=0$

2. 求投影长度：

   1. $|\vec{b}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
   2. $pro{j}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}=0$

3. 求夹角：

   1. $|\vec{a}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$
   2. $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=0$
   3. $\theta =90°$

【关键点】

• 内积计算
• 投影公式
• 余弦公式

【易错提示】 ⚠️ 注意：

• 投影方向
• 角度范围
• 零内积特征

【证明思路】

1. 向量分解：

   1. 将$\vec{a}$分解为平行和垂直于$\vec{b}$的分量
   2. $\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}\vec{b}+{\vec{a}}_{\perp }$

2. 同理分解$\vec{c}$：

   1. $\vec{c}=\frac{\vec{c}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}{|}^2}\vec{b}+{\vec{c}}_{\perp }$

3. 代入等式证明：

   1. 利用正交分解
   2. 利用内积性质
   3. 化简得证

【关键点】

• 向量正交分解
• 投影公式
• 内积运算法则

【易错提示】 ⚠️ 注意：

• 分解的完整性
• 系数的处理
• 等式的验证

【证明思路】

1. 左边展开：

   1. $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b})$
   2. $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2(\vec{a}\cdot \vec{b})$

2. 相加得：

   1. $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$
   2. $=2(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2)$

【几何意义】 🔍 平行四边形解释：

• $|\vec{a}+\vec{b}|$是对角线长度
• $|\vec{a}-\vec{b}|$是另一对角线长度
• 两对角线平方和等于边长平方和的4倍

【易错提示】 ⚠️ 注意：

• 展开时的符号
• 内积的对称性
• 几何意义的理解

【证明思路】

1. 条件分析：

   1. $\vec{a}$在$\vec{b}$和$\vec{c}$上的投影相等
   2. $\vec{b}$和$\vec{c}$等长

2. 几何理解：

   1. $\vec{b}$和$\vec{c}$的端点在以原点为圆心的圆上
   2. $\vec{a}$在$\vec{b}$和$\vec{c}$上的投影相等

3. 代数证明：

   1. $\vec{a}\cdot (\vec{b}-\vec{c})$
   2. $=\vec{a}\cdot \vec{b}-\vec{a}\cdot \vec{c}$
   3. $=0$

【关键点】

• 内积的几何意义
• 投影的相等性
• 向量的等长性

【易错提示】 ⚠️ 注意：

• 条件的充分性
• 投影的理解
• 结论的普遍性