向量练习

【证明思路】 方法一：坐标法

1. 设$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，$\vec{c}=(x_3,y_3)$
2. 左边：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=(x_1+x_2,y_1+y_2)\cdot (x_3,y_3)$ $=(x_1+x_2)x_3+(y_1+y_2)y_3$
3. 右边：$\vec{a}\cdot \vec{c}+\vec{b}\cdot \vec{c}$ $=(x_1{x}_3+y_1{y}_3)+(x_2{x}_3+y_2{y}_3)$
4. 左右相等

方法二：几何法

1. 利用内积的几何意义
2. 投影的可加性

【关键点】

• 内积分配律
• 坐标运算
• 几何意义

【解题步骤】

1. 求向量

   1. $\overrightarrow{AB}=B-A=(1,2)$
   2. $\overrightarrow{AC}=C-A=(-1,1)$

2. 判断垂直

   1. $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=1\times (-1)+2\times 1=1$
   2. 因为$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}\ne 0$
   3. 所以$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$不垂直

【解题技巧】 🎯 判断垂直三步法：

1. 写出向量坐标
2. 计算内积
3. 判断是否为0

【易错提示】 ⚠️ 注意：

• 向量坐标是终点减起点
• 垂直等价于内积为0
• 结论要有依据

【证明思路】

1. 对角线交点性质：

   1. $O$是$AC$的中点
   2. $O$是$BD$的中点

2. 利用中点性质：

   1. $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$
   2. $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OD}$

3. 证明：

   1. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$
   2. $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$
   3. 所以两式相等

【关键点】

• 中点向量关系
• 零向量性质
• 平行四边形性质

【易错提示】 ⚠️ 注意：

• 向量方向的选择
• 等式的传递性
• 结论的完整性

【解题步骤】

1. 分析已知条件：

   1. $D$是$BC$上的点
   2. $\overrightarrow{BD}:\overrightarrow{DC}=1:2$
   3. 已知$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$

2. 求解过程：

   1. $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(2,2)$
   2. $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$
   3. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=(2+\frac{2}{3},1+\frac{2}{3})$
   4. $\overrightarrow{AD}=(\frac{8}{3},\frac{5}{3})$

【思维脚手架】

1. 分点向量公式：
   1. $\overrightarrow{BD}=\lambda \overrightarrow{BC}$
   2. $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$

【易错提示】 ⚠️ 注意：

• 分点比例的确定
• 向量加减的顺序
• 计算结果的化简

【证明思路】 方法一：坐标法

1. 建立坐标系：

   1. 设$A$为原点
   2. $AB$在$x$轴正方向
   3. 设边长为$a$

2. 求向量坐标：

   1. $\overrightarrow{AE}=(a,\frac{a}{2})$
   2. $\overrightarrow{AF}=(\frac{a}{2},a)$

3. 计算模长：

   1. $|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$
   2. $|\overrightarrow{AF}|=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

方法二：几何法

1. 利用正方形的旋转对称性
2. 证明两个向量可以通过旋转重合

【关键点】

• 正方形性质
• 中点性质
• 向量模的计算

【易错提示】 ⚠️ 注意：

• 坐标系的选择
• 向量模的等价性
• 几何直观的运用