三角形向量

三角形的向量闭合性指的是：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$，即三角形三边向量首尾相连形成闭合回路，它们的向量和为零向量。

$\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$

错误。三角形重心的位置向量等于三个顶点位置向量的和除以3，即$\vec{G}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$，而不是乘积。

正确。三角形面积可表示为$S=\frac{1}{2}|(\vec{b}-\vec{a})\times (\vec{c}-\vec{a})|$，即两边向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$的叉积模长的一半。

解答思路：

1. 确定角A对应的两边向量：$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$和$\overrightarrow{AC}=\vec{c}-\vec{a}$
2. 应用向量点积公式：$\vec{u}\cdot \vec{v}=|u||v|\cos \theta$
3. 变形得到：$\cos A=\frac{(\vec{b}-\vec{a})\cdot (\vec{c}-\vec{a})}{|\vec{b}-\vec{a}||\vec{c}-\vec{a}|}$

解答思路：

1. 计算边向量：$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}=(3,1)$，$\overrightarrow{AC}=\vec{c}-\vec{a}=(1,3)$
2. 计算叉积：$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=3\times 3-1\times 1=8$
3. 三角形面积：$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}\times 8=4$

向量方法统一几何与代数视角的原因：

1. 将几何对象（点、线、面）转化为代数表达（向量及其运算）
2. 几何关系（距离、角度、面积）可通过代数运算（点积、叉积）精确计算
3. 保留几何直观性的同时提供代数严谨性

优势举例：

• 三角形面积计算：传统方法需要高、底，向量方法只需两边向量叉积
• 角度计算：传统需要余弦定理，向量方法直接用点积
• 重心确定：传统需要中线交点，向量方法简单取平均
• 证明几何定理：向量方法常能简化复杂几何证明

解答：

1. 当$\alpha +\beta +\gamma =1$时，P点位于三角形ABC的平面内
2. $\alpha$、$\beta$、$\gamma$代表点P对三个顶点的”亲近程度”，称为重心坐标
3. 当某个系数为0时，P点位于对边上
4. 当某个系数为负数时，P点位于三角形外部
5. 当$\alpha =\beta =\gamma =\frac{1}{3}$时，P点正是三角形的重心G，即$\vec{G}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$