点积概念

正确。根据点积的几何定义$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$，当两个非零向量的点积为零时，必有$\cos \theta =0$，这只在$\theta =90°$时成立，即两向量正交（垂直）。

这是判断向量正交的精确数学标准，适用于任意维度的空间，超越了直观的”垂直”概念。

解答思路：

1. 功的物理定义是力在位移方向上的分量与位移大小的乘积
2. 力$\vec{F}$在位移$\vec{d}$方向上的分量为$|\vec{F}|\cos \theta$
3. 位移大小为$|\vec{d}|$
4. 因此功$W=|\vec{F}|\cos \theta \cdot |\vec{d}|=\vec{F}\cdot \vec{d}$

点积恰好表达了”一个向量在另一个向量方向上的投影”这一物理意义，完美符合功的定义。这展示了点积的投影原理如何成为理解物理量的数学基础。

向量点积有两个定义：

• 代数定义：$\vec{a}\cdot \vec{b}={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i$
• 几何定义：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

这两个定义是等价的，体现了代数与几何的统一。可以通过余弦定理证明：

1. 对于二维或三维向量，利用余弦定理有：$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$
2. 展开左侧：$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=\sum (a_i-b_i{)}^2=\sum a_i^2+\sum b_i^2-2\sum a_i{b}_i$
3. 对比两式，得到：$|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta =\sum a_i{b}_i$

这种等价性揭示了点积作为连接代数计算与几何直观的桥梁作用。

解答思路：

1. 余弦相似度定义为：$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
2. 从点积的几何定义$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$可以直接推导出余弦相似度
3. 余弦相似度实际上是将点积”归一化”处理，消除了向量长度的影响，只保留方向相似性信息

这体现了点积的”相似度量化”本质，即点积可以作为向量间相似性的基础度量，通过归一化可以得到纯方向相似性。这一特性使点积成为信息检索、文本分析、推荐系统等领域中相似度计算的理论基础。

从线性变换的角度理解点积：

1. 给定向量$\vec{b}$，可以定义一个线性函数$f_{\vec{b}}(\vec{x})=\vec{b}\cdot \vec{x}$
2. 这个函数将任意向量$\vec{x}$映射为一个标量
3. 函数$f_{\vec{b}}$可以视为向量$\vec{b}$对空间中其他向量施加的线性变换
4. 这种变换将多维空间”压缩”为一维实数线

这种理解揭示了点积作为线性函数的本质，体现了”线性变换视角”，即点积可视为一个向量对另一个向量施加的线性变换，展示了线性代数中函数与几何的深层联系。这一视角对理解机器学习中的线性模型、神经网络等有重要意义。

解答思路：

1. 计算合力：${\vec{F}}_{合}={\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3=(3,4,0)+(2,-1,2)+(-1,2,1)=(4,5,3)$牛顿
2. 位移向量：$\vec{s}=2\vec{d}=2(1,1,1)=(2,2,2)$米
3. 功等于合力与位移的点积：$W={\vec{F}}_{合}\cdot \vec{s}$
4. 计算点积：$W=(4,5,3)\cdot (2,2,2)=4\times 2+5\times 2+3\times 2=8+10+6=24$焦耳

这个问题展示了点积在物理学中的应用，特别是如何通过点积计算功这一物理量，体现了点积作为将向量关系转化为标量的强大工具。