向量基础

1. 理解向量的本质特征
2. 掌握向量的基本运算
3. 应用向量解决物理问题

【核心结论】

• 向量三要素：大小、方向、平移不变性
• 数值只有大小，向量还需要方向

【记忆技巧】 🎯 “箭的三要素”：

1. 箭的长度（大小）
2. 箭头指向（方向）
3. 箭可以平移（起点不重要）

【易错提示】 ⚠️ 注意：零向量虽然模为0，但仍是向量

【核心结论】

• 三角形法则：首尾相连
• 平行四边形法则：共起点相加
• 两种方法结果相同（可用平移证明）

【思维脚手架】

1. 三角形法则步骤：
   1. 将第二个向量起点移到第一个向量终点
   2. 连接第一个向量起点和第二个向量终点
2. 平行四边形法则步骤：
   1. 两向量共起点
   2. 作平行四边形
   3. 对角线即为和向量

【概念地图】 向量加法 → 平移性质 → 三角形法则 ↔ 平行四边形法则 → 物理合力

【易错提示】 ⚠️ 加法交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$

【核心结论】

• 坐标表示：$\vec{a}=(x,y)$反映向量的位置信息
• 模长公式：$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$反映向量的大小信息
• 方向角：$\tan \theta =\frac{y}{x}$反映向量的方向信息

【概念地图】 坐标表示 → 模长计算 → 方向确定 → 几何性质 → 向量运算

【思维脚手架】

1. 坐标到几何的转换：

   1. 横坐标：水平投影
   2. 纵坐标：垂直投影
   3. 原点距离：向量模长
   4. 坐标比值：方向角正切

2. 几何到代数的转换：

   1. 平移：坐标加减
   2. 伸缩：坐标数乘
   3. 旋转：三角函数变换