点积题型

1. 直接计算型：

已知a=(1,2,3), b=(2,-1,4)，求a·b
解法：
a·b = 1×2 + 2×(-1) + 3×4
    = 2 - 2 + 12
    = 12

2. 夹角计算型：

已知|a|=2, |b|=3, a·b=3，求向量夹角
解法：
cosθ = (a·b)/(|a||b|)
     = 3/(2×3)
     = 1/2
θ = 60°

1. 垂直证明型：

证明：若a·b=0，则a⊥b
证明：
a·b = |a||b|cosθ = 0
由于|a|≠0, |b|≠0
所以cosθ=0
因此θ=90°，即a⊥b

2. 三角形性质证明：

证明：在三角形ABC中，若a²+b²=c²，则∠C=90°
证明：
设a,b,c为对应边的向量
则c=a-b
c²=(a-b)·(a-b)=a²+b²-2a·b
已知a²+b²=c²
代入得：2a·b=0
因此∠C=90°

1. 功的计算：

一个力F=(3,4,0)N沿位移s=(2,2,0)m移动，求功
解法：
W = F·s
  = 3×2 + 4×2 + 0×0
  = 14 焦耳

2. 力的分解：

一个力F=10N，与水平面夹角30°，求水平和竖直分力
解法：
Fx = F·i = 10cos30° = 8.66N
Fy = F·j = 10sin30° = 5N

1. 投影长度计算：

求向量a=(1,2,2)在b=(2,0,1)上的投影长度
解法：
proj_b a = (a·b)/|b|
        = (1×2 + 2×0 + 2×1)/√5
        = 4/√5

2. 投影向量计算：

求向量a=(3,4)在x轴上的投影向量
解法：
i=(1,0)
proj_i a = ((a·i)/|i|²)i
        = (3×1 + 4×0)×(1,0)
        = (3,0)

1. 点积最大值问题：

已知|a|=2, |b|=3，求a·b的最大值
解法：
|a·b| ≤ |a||b|
a·b = |a||b|cosθ
最大值在θ=0°时取得
max(a·b) = 2×3 = 6

2. 方向最优化问题：

已知力F=(3,4)，求单位向量u，使F·u最大
解法：
F·u = |F|cosθ
当u与F同向时最大
u = F/|F| = (3/5, 4/5)
最大值为5

1. 参数确定问题：

若向量a=(k,1), b=(1,k)垂直，求k的值
解法：
a·b = 0
k×1 + 1×k = 0
2k = 0
k = 0

2. 参数范围问题：

已知|a|=1，对于任意|b|=1，若a·b ≥ m，求m的最小值
解法：
a·b = cosθ
-1 ≤ cosθ ≤ 1
所以m的最小值为-1

1. 点到直线距离：

求点P(1,2,3)到直线l: r=t(2,0,1)的距离
解法：
设A(0,0,0)为直线上一点
AP=(1,2,3)
d = |AP×l|/|l|
  = |AP|sinθ
  = |AP|√(1-(AP·l)²/(|AP|²|l|²))

2. 点到平面距离：

求点P(1,1,1)到平面2x+2y+z=6的距离
解法：
平面法向量n=(2,2,1)
d = |2×1 + 2×1 + 1×1 - 6|/√(2² + 2² + 1²)
  = |5 - 6|/3
  = 1/3

1. 正交基分解：

将向量a=(2,2)分解为两个正交向量u=(1,1)和v=(1,-1)的线性组合
解法：
a = ku + mv
k = (a·u)/(u·u) = 4/2 = 2
m = (a·v)/(v·v) = 0/2 = 0
因此a = 2u + 0v = 2(1,1)

2. 非正交基分解：

将向量a=(3,3)分解到u=(2,0)和v=(1,2)下
解法：
设a = xu + yv
得方程组：
2x + y = 3
2y = 3
解得：x = 1, y = 3/2