无穷间断点

让我们来看几个具有无穷间断点的经典函数例子。

Dirichlet函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\text{ 为有理数}\\ 0,& x\text{ 为无理数}\end{array}$$

特点：

1. 在每个有理数和无理数处都间断
2. 在任意区间内都有无穷多个间断点
3. 处处不连续

正弦倒数函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sin x},& x\ne n\pi \\ 0,& x=n\pi \end{array}$$

特点：

1. 在 $x=n\pi$ 处有无穷间断点
2. 这些点是函数的瑕点
3. 函数在这些点的邻域内无界

取整函数

$$f(x)=[x]\text{ (向下取整)}$$

特点：

1. 在每个整数处都有跳跃间断点
2. 间断点可数无穷多
3. 左连续右不连续

分析方法

1. 间断点类型：
   • 第一类间断点（左右极限存在）
   • 第二类间断点（至少一个极限不存在）
   • 可去间断点
2. 间断点分布：
   • 稠密性
   • 可数性
   • 分布规律

应用注意

1. 这类函数通常：
   • 不可积
   • 不可导
   • 难以数值计算
2. 实际应用：
   • 理论分析
   • 反例构造
   • 特殊现象描述