线性方程

线性方程是一个代数方程，其图像是一条直线。

线性方程的定义 线性方程是一个代数方程，其图像是一条直线。

特点：

1. 每一项要么是常数
2. 要么是常数与单个变量的乘积
3. 可以有一个或多个因变量
4. 变化率是恒定的

线性方程的基本形式

1. 斜截式: $y=mx+b$

• $m$是斜率

• $b$是$y$轴截距

2. 点斜式：$y-y_1=m(x-x_1)$

• $(x_1,y_1)$是直线上一点

• $m$是斜率

3. 一般式：$ax+by+c=0$

• $a,b,c$是常数
• $a,b$不同时为0

斜率的概念

1. 定义：

• $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

• "rise over run"（升降/横移）

2. 特殊情况：

• 水平线：m = 0
• 垂直线：m = 未定义
• 平行线：斜率相等
• 垂直线：斜率之积为-1

截距的求法

1. y轴截距：

• 令$x=0$

• 点$(0,b)$

2. x轴截距：

• 令$y=0$
• 点$(-\frac{b}{m},0)$

常见错误

1. 混淆x轴和y轴截距
2. 忘记检查垂直线的特殊情况
3. 计算斜率时分子分母顺序错误
4. 未考虑定义域限制

应用问题类型

1. 线性变化率：

• 恒定速度

• 固定成本增长

• 均匀变化

2. 实际应用：

• 距离-时间关系
• 成本-数量关系
• 温度转换
• 工资计算

解题步骤

1. 已知两点求方程：

• 计算斜率

• 代入点斜式

2. 已知斜率和一点：

• 直接代入点斜式

3. 已知截距和一点：

• 计算斜率
• 写出斜截式

线性函数一定是线性方程，反之不一定，详情参考线性函数和线性方程。