几何平均数的几何意义

两个正数的几何平均值 $\sqrt{ab}$ 有几个重要的几何意义：

1. 面积法

• 给定一个面积为 ab 的矩形
• 将其变形为等边长的正方形
• 这个正方形的边长就是 $\sqrt{ab}$
• 体现了几何平均值的”等化”作用

2. 比例法

• 在正比例关系 $\frac{x}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{y}$ 中
• $\sqrt{ab}$ 是 x 和 y 的中间比例项
• 这反映了几何平均值的比例性质

3. 相似三角形法

• 在数轴上取点 A(a) 和 B(b)
• 以 AB 为直径作半圆
• 在 AB 上作高为 $\sqrt{ab}$ 的直角三角形
• 由相似三角形性质可证明这个高就是几何平均值