集合基础

集合的基本概念

1. 定义：用花括号表示的无序元素组
2. 特点：
   • 元素无序：$\{1,2,3\}=\{2,3,1\}$
   • 元素唯一：$\{1,1,1\}=\{1\}$
3. 表示方法：$A=\{a,b,c\}$

符号表示

集合的表示法：

• 列举法：$A=\{a,b,c\}$
• 描述法：$B=\{x|x\text{ 满足性质 }P\}$

元素与集合的关系：

• $a\in A$：表示 $a$ 是集合 $A$ 的元素
• $b\notin A$：表示 $b$ 不是集合 $A$ 的元素

集合间的关系：

• $A\subseteq B$：$A$ 是 $B$ 的子集
• $A\subset B$：$A$ 是 $B$ 的真子集
• $A=B$：$A$ 和 $B$ 相等

集合运算

运算	符号	含义	示例
并集	$\cup$	至少在一个集合中	$\{1,2\}\cup \{2,3\}=\{1,2,3\}$
交集	$\cap$	同时在两个集合中	$\{1,2\}\cap \{2,3\}=\{2\}$
补集	${}^c$	不在该集合中的元素	$\{1,2{\}}^c=U-\{1,2\}$
相对补	$\backslash$	在A不在B中的元素	$\{1,2\}\backslash \{2\}=\{1\}$
对称差	$△$	只在其中一个集合中	$\{1,2\}△\{2,3\}=\{1,3\}$

重要定理

1. 子集定理：若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$，则 $A=B$
2. 幂集定理：若集合 $A$ 有 $n$ 个元素，则其幂集 $\mathcal{P}(A)$ 有 $2^n$ 个元素
3. 德摩根定律：
   • $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$
   • $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$
4. 容斥原理：
   • $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

例题1：集合等价性

问题：判断以下集合是否等价：

• $A=\{1,3,5,7,9\}$
• $B=\{1,2,3,4,5,6\}$
• $D=\{5,4,2,6,1,3\}$

解答：$B$和$D$等价，因为包含相同元素

例题2：代数集合

• $A=\{2,a^2-4a+7\}$

• $B=\{a+1,a^2+1,a^2-1\}$ 若$A\cap B=\{4\}$，求$a$的值

解答：

1. $a^2-4a+7=4$
2. $(a-1)(a-3)=0$
3. $a=3$（验证$a=1$不符合）

例题3：德摩根律应用

• $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

• $A=\{2,5,7,3,1\}$

• $B=\{9,8,7,5,2\}$ 求$A^c\cup B^c$

解答：使用德摩根律

1. $A\cap B=\{2,5,7\}$
2. $(A\cap B{)}^c=\{1,3,4,6,8,9\}$
3. 由德摩根律，$A^c\cup B^c=(A\cap B{)}^c$

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