set-words

集合论核心术语表

基本概念

1. 集合 (Set)
   • 定义：具有某种特定性质的事物的总体
   • 记号：大写字母$A,B,C$等表示
   • 示例：$A=\{1,2,3\}$
2. 元素 (Element)
   • 定义：构成集合的每个对象
   • 记号：小写字母$a,b,c$等表示
   • 关系：$a\in A$（属于），$a\notin A$（不属于）
3. 空集 (Empty Set)
   • 定义：不含任何元素的集合
   • 记号：$\varnothing$ 或 $\{\}$
   • 性质：任何集合的子集

集合关系

4. 子集 (Subset)
   • 定义：$A$的所有元素都属于$B$
   • 记号：$A\subseteq B$
   • 特点：包含相等情况
5. 真子集 (Proper Subset)
   • 定义：$A$是$B$的子集且$A\ne B$
   • 记号：$A\subset B$
   • 特点：不包含相等情况
6. 相等集合 (Equal Sets)
   • 定义：两个集合包含相同的元素
   • 记号：$A=B$
   • 条件：$A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$

集合运算

7. 并集 (Union)
   • 定义：属于$A$或属于$B$的所有元素的集合
   • 记号：$A\cup B$
   • 性质：$x\in A\cup B\iff x\in A$ 或 $x\in B$
8. 交集 (Intersection)
   • 定义：同时属于$A$和$B$的所有元素的集合
   • 记号：$A\cap B$
   • 性质：$x\in A\cap B\iff x\in A$ 且 $x\in B$
9. 差集 (Difference)
   • 定义：属于$A$但不属于$B$的所有元素的集合
   • 记号：$A\setminus B$ 或 $A-B$
   • 性质：$x\in A\setminus B\iff x\in A$ 且 $x\notin B$
10. 补集 (Complement)
    • 定义：全集中不属于$A$的所有元素的集合
    • 记号：$\overline{A}$ 或 $A^c$
    • 前提：需要指定全集

特殊集合

11. 幂集 (Power Set)
    • 定义：集合$A$的所有子集构成的集合
    • 记号：$P(A)$ 或 $2^A$
    • 性质：若$|A|=n$，则$|P(A)|=2^n$
12. 全集 (Universal Set)
    • 定义：在特定问题中涉及的所有元素的集合
    • 记号：$U$ 或 $\Omega$
    • 作用：定义补集的参考集合

集合特征

13. 基数 (Cardinality)
    • 定义：集合中元素的个数
    • 记号：$|A|$ 或 $n(A)$
    • 性质：有限集合的非负整数
14. 有限集 (Finite Set)
    • 定义：元素个数有限的集合
    • 示例：$A=\{1,2,3\}$，$|A|=3$
15. 无限集 (Infinite Set)
    • 定义：元素个数无限的集合
    • 示例：自然数集$\mathbb{N}$

集合关系描述

16. 互斥 (Disjoint)
    • 定义：两个集合没有公共元素
    • 条件：$A\cap B=\varnothing$
17. 相容 (Compatible)
    • 定义：两个集合有公共元素
    • 条件：$A\cap B\ne \varnothing$
18. 覆盖 (Cover)
    • 定义：一些集合的并集等于全集
    • 条件：$A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n=U$