集合论

集合的基本概念

定义：用花括号表示的无序元素组

特点：

元素无序： ${1, 2, 3} = {2, 3, 1}$

元素唯一： ${1, 1, 1} = {1}$

表示方法： $A = {a, b, c}$

集合运算

运算符号含义示例
并集 $\cup$ 至少在一个集合中 ${1, 2} \cup {2, 3} = {1, 2, 3}$
交集 $\cap$ 同时在两个集合中 ${1, 2} \cap {2, 3} = {2}$
补集 $^{c}$ 不在该集合中的元素 ${1, 2}^{c} = U - {1, 2}$
相对补 $\$ 在A不在B中的元素 ${1, 2} \ {2} = {1}$
对称差 $△$ 只在其中一个集合中 ${1, 2} △ {2, 3} = {1, 3}$

运算	符号	含义	示例
并集	$\cup$	至少在一个集合中	${1, 2} \cup {2, 3} = {1, 2, 3}$
交集	$\cap$	同时在两个集合中	${1, 2} \cap {2, 3} = {2}$
补集	$^{c}$	不在该集合中的元素	${1, 2}^{c} = U - {1, 2}$
相对补	$\$	在A不在B中的元素	${1, 2} \ {2} = {1}$
对称差	$△$	只在其中一个集合中	${1, 2} △ {2, 3} = {1, 3}$

重要定理

德摩根律：

$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$

$(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$

容斥原理：

$∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$

例题1：集合等价性

$A = {1, 3, 5, 7, 9}$

$B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$

$D = {5, 4, 2, 6, 1, 3}$

解答： $B$ 和 $D$ 等价，因为包含相同元素

例题2：代数集合

$A = {2, a^{2} - 4 a + 7}$

$B = {a + 1, a^{2} + 1, a^{2} - 1}$ 若 $A \cap B = {4}$ ，求 $a$ 的值

解答：

$a^{2} - 4 a + 7 = 4$

$(a - 1) (a - 3) = 0$

$a = 3$ （验证 $a = 1$ 不符合）

例题3：德摩根律应用

$U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$

$A = {2, 5, 7, 3, 1}$

$B = {9, 8, 7, 5, 2}$ 求 $A^{c} \cup B^{c}$

解答：使用德摩根律

$A \cap B = {2, 5, 7}$

$(A \cap B)^{c} = {1, 3, 4, 6, 8, 9}$

由德摩根律， $A^{c} \cup B^{c} = (A \cap B)^{c}$

集合基础集合运算集合关系基数